Risoluzione quesito di un problema di Cauchy

[Kisama]

buona sera
avrei bisogno di una mano nel capire la risoluzione del quesito di questo esercizio su un'equazione differenziale
\(\displaystyle Y"+Y'=3e^{-x} \)
Bisogna vedere se esistono soluzioni limitate in \(\displaystyle (0; +\infty) \) ed indicarle tutte.
L'integrale generale dovrebbe essere \(\displaystyle Y=C1e^{-x}+1-3e^{-x} \), ma non so come vada risolto. Devo impostare i limiti dell'integrale generale ? Se sì come capisco se le soluzione sono limitate?
Grazie mille per le vostre risposte!

[Nietzsche610]

Hai solo due esponenziali che non possono fare altro che decrescere!
In particolare $|c_1e^(-x)|<=|c_1|$ e inoltre $|-3e^(-x)|<0$, quindi nel complesso:

$|y(x)|<|c_1|+1

Per altro, $\lim_{x\to+\infty}y(x)=1$, il che dimostra ancora che è certamente limitata indipendentemente da $c_1$.

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[Kisama]

Grazie per la tua risposta, ti chiedo di avere un attimo di pazienza e spiegarmi come si imposta la risoluzione, non sono un asso in matematica purtroppo. Grazie mille per la tua pazienza.

[Nietzsche610]

Limitata vuol dire che esiste un numero, diciamo $M$, tale che la funzione, in questo caso $y$, sia sempre più piccola di questo $M$. Ora, nel tuo caso, hai due esponenziali con esponente negativo e nell'intervallo $(0,+\infty)$ raggiungono il loro valore massimo in $x=0$ dove valgono $1$.
Il primo termine esponenziale $c_1e^(-x)$ è sicuramente sempre più piccolo del suo massimo nell'intervallo, che si ha se $x=0$, cioè $c_1e^(0)=c_1->|c_1e^(-x)|<=c_1$. Analogamente per l'altro termine esponenziale.

Cosa significa? Significa che esisterà certamente un certo valore $M$, grande a piacere, più grande della somma di questi due esponenziali.

Il limite che va a 1, significa che per $t->+\infty$ la funzione non supererà il valore $1$ e quindi è una controprova del fatto che esiste un $M$ più grande.

Spero di esserti stato d'aiuto!

[gugo82]

@ Kisama: L'integrale generale della EDO è sbagliato.
Fai bene i conti.