Risoluzione problema di Cauchy al variare di alpha
Salve, ho incontrato alcune difficoltà nella risoluzione di questo problema di Cauchy
\(\displaystyle \{ y'(t) = (y(t)^2 - 1)e^t \)
\(\displaystyle \{ y(0) = \alpha \)
Guardando la soluzione del professore ho capito di dover utilizzare il metodo delle variabili separabili, ma stranamente lui non usa degli integrali indefiniti, ma integrali definiti da \(\displaystyle \alpha \) a \(\displaystyle y(t) \) e da 0 a t rispettivamente per gli integrali in \(\displaystyle dy \) e \(\displaystyle dt \)
Sapreste dirmi il perché?
Inoltre potreste dirmi come trovare le soluzioni stazionarie in questi casi?
\(\displaystyle \{ y'(t) = (y(t)^2 - 1)e^t \)
\(\displaystyle \{ y(0) = \alpha \)
Guardando la soluzione del professore ho capito di dover utilizzare il metodo delle variabili separabili, ma stranamente lui non usa degli integrali indefiniti, ma integrali definiti da \(\displaystyle \alpha \) a \(\displaystyle y(t) \) e da 0 a t rispettivamente per gli integrali in \(\displaystyle dy \) e \(\displaystyle dt \)
Sapreste dirmi il perché?
Inoltre potreste dirmi come trovare le soluzioni stazionarie in questi casi?
Risposte
È la stessa cosa, no? Prova a verificarlo.
Per quanto riguarda le soluzioni stazionarie, esse sono semplicemente quelle per cui \(y'=0\) che stai escludendo quando separi le variabili.
Per quanto riguarda le soluzioni stazionarie, esse sono semplicemente quelle per cui \(y'=0\) che stai escludendo quando separi le variabili.
Credo di aver capito la prima parte, ma continuo a non riuscire a trovare le soluzioni stazionarie. Io le troverei ponendo la mia funzione in relazione a y uguale a zero, andando quindi a trovare una funzione del tipo \(\displaystyle y(t) = ...qualcosa... \) ma nelle soluzioni dell'esercizio trovo che le soluzioni stazionare sono \(\displaystyle \alpha = +1, -1 \)
Non dovrei trovare una funzione? Perché mi indica quelle alpha?
Non dovrei trovare una funzione? Perché mi indica quelle alpha?
Per soluzioni stazionarie si intendono le soluzioni (cioè funzioni) costanti, in quel caso sono $+-1$ perché è l'unico modo di rendere vera l'equazione.
La condizione \(y'=0\) significa che \(y=\int 0\>\mathrm{d}t=c,\>c\in\mathbb{R}\) è costante (o, altrimenti detto, stazionaria). Ma sappiamo che \(y'=(y^2-1)e^t\), perciò la precedente condizione è equivalente a \((y^2-1)e^t=0\implies y^2=1\). Allora \(y(t)=\pm1,\>\forall t\in\mathbb{R}\), in particolare per \(t=0\), da cui \(y(0)=\pm1=\alpha\). Lo stesso risultato lo si ottiene quando, separando le variabili, si esige che il denominatore non si annulli mai: \(y^2-1\neq0\). Per non perdere soluzioni va considerato allora il caso \(y^2-1=0\).
Ciao Outsider1798,
La ricerca delle soluzioni stazionarie di un'equazione differenziale deve essere effettuata prima di separare le variabili nell'equazione, in modo da poter dividere entrambi i membri per una quantità non nulla. Nel caso in esame, stai cercando una soluzione del problema di Cauchy tale che $y(0)=\alpha $: se dividi entrambi i membri per $y^2-1 $, stai effettuando un'operazione che non puoi effettuare se $y^2(t) = 1 \implies y(t) =\pm 1 $, perché è come se dividessi per $0$
La soluzione che cerchi è infatti una funzione $y(t) $ che in $t = 0 $ vale $ y(0) = \alpha $, dunque $ y^2(0) - 1 = 0 \implies y(0) = \alpha = \pm 1 $
Detto ciò, separando le variabili escludiamo le eventuali soluzioni stazionarie (non essendo noto il valore di $\alpha $) ed integrando si ha:
$ int_{\alpha}^{y(t)} frac{dy}{y^2 - 1} = int_0^t e^t dt $
$ - int_{\alpha}^{y(t)} frac{dy}{1 - y^2} = int_0^t e^t dt $
$ - [frac{1}{2} ln|frac{1 + y}{1 - y}|]_{\alpha}^{y(t)} = e^t - 1 $
$ [frac{1}{2} ln|frac{1 + y}{1 - y}|]_{\alpha}^{y(t)} = 1 - e^t $
$ frac{1}{2} ln|frac{1 + y(t)}{1 - y(t)}| - frac{1}{2} ln|frac{1 + \alpha}{1 - \alpha}| = 1 - e^t $
$ ln|frac{1 + y(t)}{1 - y(t)}| - ln|frac{1 + \alpha}{1 - \alpha}| = 2 - 2 e^t $
$ln|frac{frac{1 + y(t)}{1 - y(t)}}{frac{1 + \alpha}{1 - \alpha}}| = 2 - 2 e^t $
$|frac{frac{1 + y(t)}{1 - y(t)}}{frac{1 + \alpha}{1 - \alpha}}| = e^{2(1 - e^t)} $
$ 1 + y(t) = |frac{1 + \alpha}{1 - \alpha}|e^{2(1 - e^t)}[1 - y(t)]$
$ 1 + y(t) = |frac{1 + \alpha}{1 - \alpha}|e^{2(1 - e^t)} - |frac{1 + \alpha}{1 - \alpha}| e^{2(1 - e^t)} y(t) $
$ y(t)(1 + frac{|1 + \alpha|}{|1 - \alpha|}frac{e^2}{e^{2e^t}}) = frac{|1 + \alpha|}{|1 - \alpha|} frac{e^2}{e^{2e^t}} - 1 $
$ frac{|1 - \alpha|e^{2e^t} + |1 + \alpha|e^2}{|1 - \alpha|e^{2e^t}}y(t) = frac{|1 + \alpha|e^{2} - |1 - \alpha|e^{2e^t}}{|1 - \alpha|e^{2e^t}} $
$y(t) = frac{|1 + \alpha|e^{2} - |1 - \alpha|e^{2e^t}}{|1 - \alpha|e^{2e^t} + |1 + \alpha|e^2} = - frac{|1 - \alpha|e^{2e^t} - |1 + \alpha|e^{2}}{|1 - \alpha|e^{2e^t} + |1 + \alpha|e^2} $
Dato che deve essere $y(0) = \alpha $, si ha:
$y(0) = - frac{|1 - \alpha|e^{2} - |1 + \alpha|e^{2}}{|1 - \alpha|e^{2} + |1 + \alpha|e^2} $
Se $\alpha > 1 \implies 1 - \alpha < 0 \implies |1 - \alpha| = \alpha - 1 $ si ha:
$y(0) = - frac{(\alpha - 1)e^{2} - (1 + \alpha)e^{2}}{(\alpha - 1)e^{2} + (1 + \alpha)e^2} = frac{2e^2}{2\alpha e^2} = frac{1}{\alpha} $
che non è possibile che sia uguale ad $\alpha $ perché accadrebbe solo nel caso delle soluzioni stazionarie che abbiamo escluso.
Se $ - 1 < \alpha < 1 \implies 1 - \alpha > 0 \implies |1 - \alpha| = 1 - \alpha $ si ha:
$y(0) = - frac{(1 - \alpha)e^{2} - (1 + \alpha)e^{2}}{(1 - \alpha)e^{2} + (1 + \alpha)e^2} = \alpha $
Se $\alpha < - 1 \implies 1 + \alpha < 0 \implies |1 + \alpha| = - \alpha - 1$ si ha:
$y(0) = - frac{(1 - \alpha)e^{2} + (\alpha + 1)e^{2}}{(1 - \alpha)e^{2} - (\alpha + 1) e^2} = frac{2e^2}{2\alpha e^2} = frac{1}{\alpha} $
che non è possibile che sia uguale ad $\alpha $ perché accadrebbe solo nel caso delle soluzioni stazionarie che abbiamo escluso. Dunque, a parte le soluzioni stazionarie $\alpha = \pm 1 $, la soluzione dell'equazione differenziale proposta è la seguente:
$y(t) = - frac{(\alpha - 1)e^{2e^t} + (\alpha + 1)e^{2}}{(\alpha - 1) e^{2e^t} - (\alpha + 1)e^2} $
ove $\alpha \in (-1, 1) $
Magari controlla i conti perché potrei anche essermi sbagliato...
La ricerca delle soluzioni stazionarie di un'equazione differenziale deve essere effettuata prima di separare le variabili nell'equazione, in modo da poter dividere entrambi i membri per una quantità non nulla. Nel caso in esame, stai cercando una soluzione del problema di Cauchy tale che $y(0)=\alpha $: se dividi entrambi i membri per $y^2-1 $, stai effettuando un'operazione che non puoi effettuare se $y^2(t) = 1 \implies y(t) =\pm 1 $, perché è come se dividessi per $0$
La soluzione che cerchi è infatti una funzione $y(t) $ che in $t = 0 $ vale $ y(0) = \alpha $, dunque $ y^2(0) - 1 = 0 \implies y(0) = \alpha = \pm 1 $
Detto ciò, separando le variabili escludiamo le eventuali soluzioni stazionarie (non essendo noto il valore di $\alpha $) ed integrando si ha:
$ int_{\alpha}^{y(t)} frac{dy}{y^2 - 1} = int_0^t e^t dt $
$ - int_{\alpha}^{y(t)} frac{dy}{1 - y^2} = int_0^t e^t dt $
$ - [frac{1}{2} ln|frac{1 + y}{1 - y}|]_{\alpha}^{y(t)} = e^t - 1 $
$ [frac{1}{2} ln|frac{1 + y}{1 - y}|]_{\alpha}^{y(t)} = 1 - e^t $
$ frac{1}{2} ln|frac{1 + y(t)}{1 - y(t)}| - frac{1}{2} ln|frac{1 + \alpha}{1 - \alpha}| = 1 - e^t $
$ ln|frac{1 + y(t)}{1 - y(t)}| - ln|frac{1 + \alpha}{1 - \alpha}| = 2 - 2 e^t $
$ln|frac{frac{1 + y(t)}{1 - y(t)}}{frac{1 + \alpha}{1 - \alpha}}| = 2 - 2 e^t $
$|frac{frac{1 + y(t)}{1 - y(t)}}{frac{1 + \alpha}{1 - \alpha}}| = e^{2(1 - e^t)} $
$ 1 + y(t) = |frac{1 + \alpha}{1 - \alpha}|e^{2(1 - e^t)}[1 - y(t)]$
$ 1 + y(t) = |frac{1 + \alpha}{1 - \alpha}|e^{2(1 - e^t)} - |frac{1 + \alpha}{1 - \alpha}| e^{2(1 - e^t)} y(t) $
$ y(t)(1 + frac{|1 + \alpha|}{|1 - \alpha|}frac{e^2}{e^{2e^t}}) = frac{|1 + \alpha|}{|1 - \alpha|} frac{e^2}{e^{2e^t}} - 1 $
$ frac{|1 - \alpha|e^{2e^t} + |1 + \alpha|e^2}{|1 - \alpha|e^{2e^t}}y(t) = frac{|1 + \alpha|e^{2} - |1 - \alpha|e^{2e^t}}{|1 - \alpha|e^{2e^t}} $
$y(t) = frac{|1 + \alpha|e^{2} - |1 - \alpha|e^{2e^t}}{|1 - \alpha|e^{2e^t} + |1 + \alpha|e^2} = - frac{|1 - \alpha|e^{2e^t} - |1 + \alpha|e^{2}}{|1 - \alpha|e^{2e^t} + |1 + \alpha|e^2} $
Dato che deve essere $y(0) = \alpha $, si ha:
$y(0) = - frac{|1 - \alpha|e^{2} - |1 + \alpha|e^{2}}{|1 - \alpha|e^{2} + |1 + \alpha|e^2} $
Se $\alpha > 1 \implies 1 - \alpha < 0 \implies |1 - \alpha| = \alpha - 1 $ si ha:
$y(0) = - frac{(\alpha - 1)e^{2} - (1 + \alpha)e^{2}}{(\alpha - 1)e^{2} + (1 + \alpha)e^2} = frac{2e^2}{2\alpha e^2} = frac{1}{\alpha} $
che non è possibile che sia uguale ad $\alpha $ perché accadrebbe solo nel caso delle soluzioni stazionarie che abbiamo escluso.
Se $ - 1 < \alpha < 1 \implies 1 - \alpha > 0 \implies |1 - \alpha| = 1 - \alpha $ si ha:
$y(0) = - frac{(1 - \alpha)e^{2} - (1 + \alpha)e^{2}}{(1 - \alpha)e^{2} + (1 + \alpha)e^2} = \alpha $
Se $\alpha < - 1 \implies 1 + \alpha < 0 \implies |1 + \alpha| = - \alpha - 1$ si ha:
$y(0) = - frac{(1 - \alpha)e^{2} + (\alpha + 1)e^{2}}{(1 - \alpha)e^{2} - (\alpha + 1) e^2} = frac{2e^2}{2\alpha e^2} = frac{1}{\alpha} $
che non è possibile che sia uguale ad $\alpha $ perché accadrebbe solo nel caso delle soluzioni stazionarie che abbiamo escluso. Dunque, a parte le soluzioni stazionarie $\alpha = \pm 1 $, la soluzione dell'equazione differenziale proposta è la seguente:
$y(t) = - frac{(\alpha - 1)e^{2e^t} + (\alpha + 1)e^{2}}{(\alpha - 1) e^{2e^t} - (\alpha + 1)e^2} $
ove $\alpha \in (-1, 1) $
Magari controlla i conti perché potrei anche essermi sbagliato...
In effetti c'è qualcosa che non torna. Mi sembra che tu dica che non ci siano soluzioni non stazionarie per \(\alpha\not\in(-1,1)\), ma preso ad esempio \(\alpha=2\) si verifica che \(y(t)=\frac{3e^{2(1-e^t)}+1}{3e^{2(1-e^t)}-1}\) è soluzione. Direi che l'errore sta in questo passaggio
Inoltre, vista così, mi pare un caso in cui la risoluzione tramite integrazione definita sia più laboriosa che passando tramite integrali indefiniti:\[\int\frac{y'}{y^2-1}\mathrm{d}t=\int e^t\mathrm{d}t\implies\ln{\left|\frac{y-1}{y+1}\right|}=2e^t+c,\>c\in\mathbb{R}\implies y(t)=\frac{2}{1+ke^{2e^t}}-1,\>k\in\mathbb{R}\]Imponendo la condizione \(y(0)=\alpha\) si ha:\[y(0)=\frac{2}{1+ke^2}-1=\alpha\implies k=\frac{1-\alpha}{1+\alpha}e^{-2}\]da cui la soluzione al problema di Cauchy è:\[y(t)=\frac{2}{1+\frac{1-\alpha}{1+\alpha}e^{2(e^t-1)}}-1\]dov'è esclusa la soluzione stazionaria \(\alpha=-1\).
"pilloeffe":in cui non consideri l'eventualità del doppio segno.
$ |frac{frac{1 + y(t)}{1 - y(t)}}{frac{1 + \alpha}{1 - \alpha}}| = e^{2(1 - e^t)} $
$ 1 + y(t) = |frac{1 + \alpha}{1 - \alpha}|e^{2(1 - e^t)}[1 - y(t)] $
Inoltre, vista così, mi pare un caso in cui la risoluzione tramite integrazione definita sia più laboriosa che passando tramite integrali indefiniti:\[\int\frac{y'}{y^2-1}\mathrm{d}t=\int e^t\mathrm{d}t\implies\ln{\left|\frac{y-1}{y+1}\right|}=2e^t+c,\>c\in\mathbb{R}\implies y(t)=\frac{2}{1+ke^{2e^t}}-1,\>k\in\mathbb{R}\]Imponendo la condizione \(y(0)=\alpha\) si ha:\[y(0)=\frac{2}{1+ke^2}-1=\alpha\implies k=\frac{1-\alpha}{1+\alpha}e^{-2}\]da cui la soluzione al problema di Cauchy è:\[y(t)=\frac{2}{1+\frac{1-\alpha}{1+\alpha}e^{2(e^t-1)}}-1\]dov'è esclusa la soluzione stazionaria \(\alpha=-1\).
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