Risoluzione problema di cauchy

[SenzaCera]

Allora ho un equazioncina differenziale che non mi viene e dato che a vederla mi sembrava facile mi sn un pò demoralizzato vedendo che in realtà nn ero in grado di farla Chi mi da una mano?

$y'-y^2=x$ $y(0)=1$

Sinceramente da quelloo che ho capito la dfficoltà di questi esercizi è quello di ricondursi a tipologie di equazioni differenziali "standard" per mezzo di sostituzioni e quant' altro ma io non so neanche da dove iniziare!!

Ringrazio in anticipo per l' aiuto!

[Tycos]

"SenzaCera":Allora ho un equazioncina differenziale che non mi viene e dato che a vederla mi sembrava facile mi sn un pò demoralizzato vedendo che in realtà nn ero in grado di farla Chi mi da una mano?

$y'-y^2=x$ $y(0)=1$

Sinceramente da quelloo che ho capito la dfficoltà di questi esercizi è quello di ricondursi a tipologie di equazioni differenziali "standard" per mezzo di sostituzioni e quant' altro ma io non so neanche da dove iniziare!!

Ringrazio in anticipo per l' aiuto!

non so se è giusto, però avendo $y'-y^2=x$ potrei svolgerlo così $int dy - y^2 = int x dx$

[SenzaCera]

Bè non sono molto esperto però mi sa che non si può risolvere a quel modo..perchè come si fa ad integrare quella roba?

[zorn801]

Potrebbe andare bene $dy = (y^2 + x)dx$ da cui $y = xy^2 + (x^2)/2 + c$ dove per le condizioni iniziali è $c=1$.

Da qui: $xy^2 -y + (x^2)/2 + 1 = 0$ e se ricaviamo $y=(1+-sqrt(1-4x-2x^3))/(2x)$, ci accorgiamo che la funzione che si ottiene non è definita per $x=0$, in altre parole perdiamo qualche punto della famiglia di curve ottenute.

Inoltre
$lim_(x->0) ((1+sqrt(1-4x-2x^3))/(2x)) = lim_(x->0) ((-4x-2x^3))/(2x*(1+sqrt(1-4x-2x^3))) = lim_(x->0) ((-4-2x^2))/(2*(1+sqrt(1-4x-2x^3))) = (-4)/(2*(1+1)) = -1 $
e l'altra tende a infinito.

[Lord K]

$y'-y^2=x$

Si risolve come una equazione di Riccati (della forma $y'=x+0*y+y^2$) se pongo infatti:

$y=-(u')/u$

Ottengo:

$y' = ((u') ^2 - u''u)/u^2$

da cui sostituendo:

$-u''u=xu^2$

ovvero $u=0$ soluzione particolare, altrimenti:

$u''=-xu$

che è a variabili separabili, quindi facilmente risolvibile.

[Lord K]

"zorn80":Potrebbe andare bene $dy = (y^2 + x)dx$ da cui $y = xy^2 + (x^2)/2 + c$ dove per le condizioni iniziali è $c=1$.

Da qui: $xy^2 -y + (x^2)/2 + 1 = 0$ e se ricaviamo $y=(1+-sqrt(1-4x-2x^3))/(2x)$, ci accorgiamo che la funzione che si ottiene non è definita per $x=0$, in altre parole perdiamo qualche punto della famiglia di curve ottenute.

Inoltre
$lim_(x->0) ((1+sqrt(1-4x-2x^3))/(2x)) = lim_(x->0) ((-4x-2x^3))/(2x*(1+sqrt(1-4x-2x^3))) = lim_(x->0) ((-4-2x^2))/(2*(1+sqrt(1-4x-2x^3))) = (-4)/(2*(1+1)) = -1 $
e l'altra tende a infinito.

Il modo non è corretto!

Non sai quanto è $\int y^2 dx$ e non puoi dire che sia $xy^2$

[SenzaCera]

Non mi è chiaro molto bene per quale motivo parti cn il presupposto che $y=(-u')/u$.Cioè a me non sarebbe mai vnuto in mente di fare quella sostituzione...

e poi un' equazione a variabili separabili non deve essere di primop grado?

$u''+ux=0$ tecnicamente non si può risolvere come se fosse un equazione a variabili separabili o sbaglio?

[Lord K]

Il punto è che si risolve comunque abbastanza facilmente. La sostituzione non è una mia invenzione, ma un metodo che fa riferimento al metodo di risoluzione di equazioni differenziali denominate di Riccati.