Risoluzione problema con Laplace
Buongiorno a tutti.
Sto affrontando un esercizio di analisi matematica 3.
Risolvere il problema mediante la trasformata di Laplace
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
y^{'''}-3y^{''}+3y^{'}-y=tcost \\
y\left (0 \right )=y^{'}\left ( 0 \right )=y^{''}\left ( 0 \right )=0
\end{matrix}\right. \)
Ecco quel che ho fatto:
\(\displaystyle
L\left [ y^{'''} \right ]=s^{3}Y\left ( s \right )-s^{2}Y\left ( 0 \right )-sY^{'}\left ( s \right )-Y^{''}\left ( 0 \right ) \)
\(\displaystyle L\left [ y^{''} \right ]=s^{2}Y\left ( s \right )-sY\left ( 0 \right )-Y^{'}\left ( 0 \right ) \)
\(\displaystyle
L\left [ y^{'} \right ]=sY\left ( s \right )-Y\left ( 0 \right ) \)
\(\displaystyle
L\left [ y \right ]=Y\left ( s \right ) \)
\(\displaystyle
L\left [ tcost \right ]=-\frac{\mathrm{d} L\left [ cos t \right ]}{\mathrm{d} s}=\frac{s^{2}-1}{\left ( s^2+1 \right )^{2}} \)
Sostituendo nell'equazione ottengo:
\(\displaystyle \left (s^{3}-3s^{2}+3s-1 \right )Y\left ( s \right )=\frac{s^{2}-1}{\left ( s^2+1 \right )^{2}} \)
e dunque:
\(\displaystyle Y\left ( s \right )=\frac{s^{2}-1}{\left (s^{3}-3s^{2}+3s-1 \right ) \left ( s^2+1 \right )^{2}} \)
Il polinomio \(\displaystyle s^{3}-3s^{2}+3s-1 =\left ( s-1 \right )^{3} \)
sostituendo:
\(\displaystyle Y\left ( s \right )=\frac{s^{2}-1}{\left ( s-1 \right )^{3} \left ( s^2+1 \right )^{2}}=\frac{\left (s-1 \right )\left ( s+1 \right )}{\left ( s-1 \right )^{3} \left ( s^2+1 \right )^{2}}=\frac{\left ( s+1 \right )}{\left ( s-1 \right )^{2} \left ( s^2+1 \right )^{2}} \)
Ora continuo con i fratti semplici ed ho:
\(\displaystyle \frac{\left ( s+1 \right )}{\left ( s-1 \right )^{2} \left ( s+1 \right )^{2}}=\frac{As+B}{\left ( s^2+1 \right )} + \frac{Cs+D}{\left ( s^2+1 \right )^2} + \frac{Es+F}{\left ( s-1 \right )} + \frac{Gs+H}{\left ( s-1 \right )^{2}} \)
Fin qui l'esercizio è giusto?
Lo vorrei sapere per evitare di fare tanti calcoli per poi scoprire che l'esercizio non è svolto correttamente!
Grazie a coloro che mi aiuteranno.
P.S. non riesco a capire perché alcune formule non le visualizza come mai? Ho anche usato un Editor Latex (http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php) per scriverle.
Sto affrontando un esercizio di analisi matematica 3.
Risolvere il problema mediante la trasformata di Laplace
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
y^{'''}-3y^{''}+3y^{'}-y=tcost \\
y\left (0 \right )=y^{'}\left ( 0 \right )=y^{''}\left ( 0 \right )=0
\end{matrix}\right. \)
Ecco quel che ho fatto:
\(\displaystyle
L\left [ y^{'''} \right ]=s^{3}Y\left ( s \right )-s^{2}Y\left ( 0 \right )-sY^{'}\left ( s \right )-Y^{''}\left ( 0 \right ) \)
\(\displaystyle L\left [ y^{''} \right ]=s^{2}Y\left ( s \right )-sY\left ( 0 \right )-Y^{'}\left ( 0 \right ) \)
\(\displaystyle
L\left [ y^{'} \right ]=sY\left ( s \right )-Y\left ( 0 \right ) \)
\(\displaystyle
L\left [ y \right ]=Y\left ( s \right ) \)
\(\displaystyle
L\left [ tcost \right ]=-\frac{\mathrm{d} L\left [ cos t \right ]}{\mathrm{d} s}=\frac{s^{2}-1}{\left ( s^2+1 \right )^{2}} \)
Sostituendo nell'equazione ottengo:
\(\displaystyle \left (s^{3}-3s^{2}+3s-1 \right )Y\left ( s \right )=\frac{s^{2}-1}{\left ( s^2+1 \right )^{2}} \)
e dunque:
\(\displaystyle Y\left ( s \right )=\frac{s^{2}-1}{\left (s^{3}-3s^{2}+3s-1 \right ) \left ( s^2+1 \right )^{2}} \)
Il polinomio \(\displaystyle s^{3}-3s^{2}+3s-1 =\left ( s-1 \right )^{3} \)
sostituendo:
\(\displaystyle Y\left ( s \right )=\frac{s^{2}-1}{\left ( s-1 \right )^{3} \left ( s^2+1 \right )^{2}}=\frac{\left (s-1 \right )\left ( s+1 \right )}{\left ( s-1 \right )^{3} \left ( s^2+1 \right )^{2}}=\frac{\left ( s+1 \right )}{\left ( s-1 \right )^{2} \left ( s^2+1 \right )^{2}} \)
Ora continuo con i fratti semplici ed ho:
\(\displaystyle \frac{\left ( s+1 \right )}{\left ( s-1 \right )^{2} \left ( s+1 \right )^{2}}=\frac{As+B}{\left ( s^2+1 \right )} + \frac{Cs+D}{\left ( s^2+1 \right )^2} + \frac{Es+F}{\left ( s-1 \right )} + \frac{Gs+H}{\left ( s-1 \right )^{2}} \)
Fin qui l'esercizio è giusto?
Lo vorrei sapere per evitare di fare tanti calcoli per poi scoprire che l'esercizio non è svolto correttamente!
Grazie a coloro che mi aiuteranno.
P.S. non riesco a capire perché alcune formule non le visualizza come mai? Ho anche usato un Editor Latex (http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php) per scriverle.
Risposte
Ho dovuto eliminare due quadrati di troppo al numeratore della scomposizione in fratti semplici ed aggiungere dei \(+\)... Vedi se ti torna
Ad ogni modo, nota che la prima e la terza funzione razionale presenti nella decomposizione in fratti non sono fratti semplici: infatti, un fratto semplice con denominatore di primo grado è del tipo:
\[
\frac{A}{s-s_0}\; .
\]
Ad ogni modo, nota che la prima e la terza funzione razionale presenti nella decomposizione in fratti non sono fratti semplici: infatti, un fratto semplice con denominatore di primo grado è del tipo:
\[
\frac{A}{s-s_0}\; .
\]
"gugo82":
Ho dovuto eliminare due quadrati di troppo al numeratore della scomposizione in fratti semplici ed aggiungere dei \(+\)... Vedi se ti torna
Ad ogni modo, nota che la prima e la terza funzione razionale presenti nella decomposizione in fratti non sono fratti semplici: infatti, un fratto semplice con denominatore di primo grado è del tipo:
\[
\frac{A}{s-s_0}\; .
\]
Chiedo scusa ma la trasformata del coseno di t non è \(\displaystyle \frac{s}{s^2+1} \)?
E la sua derivata dovrebbe essere \(\displaystyle \frac{1-s^2}{\left ( s^2+1\right )^2} \) ?
Cambiata di segno \(\displaystyle \frac{s^2-1}{\left ( s^2+1\right )^2} \)
Di conseguenza le frazioni dovrebbero essere corrette quelle che ho scritto.
Allora c'erano delle incongruenze in tutte le formule, dato che io ho corretto esponenti solo nella scomposizione in fratti... Controlla i conti e modifica il post dove necessario.
ho modificato secondo i miei calcoli
"jumpy83":
Ora continuo con i fratti semplici ed ho:
\(\displaystyle \frac{\left ( s+1 \right )}{\left ( s-1 \right )^{2} \left ( s+1 \right )^{2}}=\frac{As+B}{\left ( s^2+1 \right )} + \frac{Cs+D}{\left ( s^2+1 \right )^2} + \frac{Es+F}{\left ( s-1 \right )} + \frac{Gs+H}{\left ( s-1 \right )^{2}} \)
\(\displaystyle \frac{\left ( s+1 \right )}{\left ( s-1 \right )^{2} \left ( s+1 \right )^{2}}=\frac{As+B}{\left ( s^2+1 \right )} + \frac{Cs+D}{\left ( s^2+1 \right )^2} + \frac{E}{\left ( s-1 \right )} + \frac{F}{\left ( s-1 \right )^{2}} \)
Mi sembra che al numeratore del III e IV termine basta il grado zero. Dico bene ?
"Quinzio":
[quote="jumpy83"]
Ora continuo con i fratti semplici ed ho:
\(\displaystyle \frac{\left ( s+1 \right )}{\left ( s-1 \right )^{2} \left ( s+1 \right )^{2}}=\frac{As+B}{\left ( s^2+1 \right )} + \frac{Cs+D}{\left ( s^2+1 \right )^2} + \frac{Es+F}{\left ( s-1 \right )} + \frac{Gs+H}{\left ( s-1 \right )^{2}} \)
\(\displaystyle \frac{\left ( s+1 \right )}{\left ( s-1 \right )^{2} \left ( s+1 \right )^{2}}=\frac{As+B}{\left ( s^2+1 \right )} + \frac{Cs+D}{\left ( s^2+1 \right )^2} + \frac{E}{\left ( s-1 \right )} + \frac{F}{\left ( s-1 \right )^{2}} \)
Mi sembra che al numeratore del III e IV termine basta il grado zero. Dico bene ?[/quote]
Si.
Ho sviluppato i fratti semplici e ricavato le costanti (non so se sono corrette) ed ho trovato
\(\displaystyle \frac{3}{4}\frac{s}{1+s^{2}}+\frac{1}{4}\frac{1}{1+s^{2}}+\frac{1}{2}\frac{s}{\left ( 1+s^{2} \right )^{2}}-\frac{1}{2}\frac{1}{\left ( 1+s^{2} \right )^{2}}-\frac{3}{4}\frac{1}{s-1 }+\frac{1}{2}\frac{1}{\left ( s-1 \right )^{2}} \)
Antitrasformando ho che il primo termine è un coseno, il secondo è un seno, il quinto è un esponenziale e il sesto è del tipo \(\displaystyle \frac{1}{\left ( n-1 \right )!}t^{n-1}e^{-at} \)
Ma il terzo e il quarto termine come si antitrasformano?
Per il terzo e quarto termine suggerirei di ricorrere a proprietà note dell'antitrasformata $L^{-1}$ e precisamente:
Se $L^{-1}{f(s)}=F(t), F(0)=0$ allora risulta :
$(A)L^{-1}{s f(s)}=F'(t) $
$(B)L^{-1}{f^{(n)}(s)}=(-1)^nt^nF(t)$
Ciò posto, essendo già noto che $L^{-1}{1/{1+s^2}}=sin t $, per la (B) [con n=1] si ha:
$L^{-1}{(1/{1+s^2})^{\prime}}=- t sin t$
Ed eseguendo la derivazione a primo membro:
$L^{-1}{{-2s}/{(1+s^2)^2}}=-t sin t$
da cui la formula ( relativa al terzo termine) :
$L^{-1}{{s}/{(1+s^2)^2}}=1/2t sin t$
Per il quarto termine si procede come segue.
$L^{-1}{1/{(1+s^2)^2}}=L^{-1}{1/{1+s^2}}-L^{-1}{s^2/{(1+s^2)^2}}$
Ovvero :
$L^{-1}{1/{(1+s^2)^2}}=sin t-L^{-1}{s cdot s/{(1+s^2)^2}}$
Ed applicando la (A) a secondo membro :
$L^{-1}{1/{(1+s^2)^2}}=sin t-(1/2t sint)^{\prime} =sin t -1/2sin t-1/2t cos t$
Ed infine :
$L^{-1}{1/{(1+s^2)^2}}=1/2(sin t-t cos t)$
Se $L^{-1}{f(s)}=F(t), F(0)=0$ allora risulta :
$(A)L^{-1}{s f(s)}=F'(t) $
$(B)L^{-1}{f^{(n)}(s)}=(-1)^nt^nF(t)$
Ciò posto, essendo già noto che $L^{-1}{1/{1+s^2}}=sin t $, per la (B) [con n=1] si ha:
$L^{-1}{(1/{1+s^2})^{\prime}}=- t sin t$
Ed eseguendo la derivazione a primo membro:
$L^{-1}{{-2s}/{(1+s^2)^2}}=-t sin t$
da cui la formula ( relativa al terzo termine) :
$L^{-1}{{s}/{(1+s^2)^2}}=1/2t sin t$
Per il quarto termine si procede come segue.
$L^{-1}{1/{(1+s^2)^2}}=L^{-1}{1/{1+s^2}}-L^{-1}{s^2/{(1+s^2)^2}}$
Ovvero :
$L^{-1}{1/{(1+s^2)^2}}=sin t-L^{-1}{s cdot s/{(1+s^2)^2}}$
Ed applicando la (A) a secondo membro :
$L^{-1}{1/{(1+s^2)^2}}=sin t-(1/2t sint)^{\prime} =sin t -1/2sin t-1/2t cos t$
Ed infine :
$L^{-1}{1/{(1+s^2)^2}}=1/2(sin t-t cos t)$
"ciromario":
Per il terzo e quarto termine suggerirei di ricorrere a proprietà note dell'antitrasformata $L^{-1}$ e precisamente:
Se $L^{-1}{f(s)}=F(t), F(0)=0$ allora risulta :
$(A)L^{-1}{s f(s)}=F'(t) $
$(B)L^{-1}{f^{(n)}(s)}=(-1)^nt^nF(t)$
Ciò posto, essendo già noto che $L^{-1}{1/{1+s^2}}=sin t $, per la (B) [con n=1] si ha:
$L^{-1}{(1/{1+s^2})^{\prime}}=- t sin t$
Ed eseguendo la derivazione a primo membro:
$L^{-1}{{-2s}/{(1+s^2)^2}}=-t sin t$
da cui la formula ( relativa al terzo termine) :
$L^{-1}{{s}/{(1+s^2)^2}}=1/2t sin t$
Per il quarto termine si procede come segue.
$L^{-1}{1/{(1+s^2)^2}}=L^{-1}{1/{1+s^2}}-L^{-1}{s^2/{(1+s^2)^2}}$
Ovvero :
$L^{-1}{1/{(1+s^2)^2}}=sin t-L^{-1}{s cdot s/{(1+s^2)^2}}$
Ed applicando la (A) a secondo membro :
$L^{-1}{1/{(1+s^2)^2}}=sin t-(1/2t sint)^{\prime} =sin t -1/2sin t-1/2t cos t$
Ed infine :
$L^{-1}{1/{(1+s^2)^2}}=1/2(sin t-t cos t)$
Grazie.
Non mi sarebbe mai venuto in mente questo modo di agire.
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