Risoluzione problema Cauchy tramite Laplace

[Drake_89]

Ecco la domanda del giorno..

Devo determinare usando la trasformata di Laplace, la soluzione (dipendente dal parametro reale k diverso da 0) di
questo problema di Cauchy

\begin{cases} y'' + k^2 y = 0 \\ y(0) = y'(0) = 1 \end{cases}

E devo provare che per ogni k diverso da 0 la soluzione è limitata.

Ho risolto così il problema:

$ s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) + k^2 Y(s) = 0 $
$ s^2Y(s) - s - 1 + k^2 Y(s) = 0 $
$ Y(s)(s^2 + k^2) = s + 1 $
$ Y(s) = \frac {s+1}{(s + ik)(s - ik)} $

Antitrasformo con il metodo dei residui. Ho poli semplici ik e -ik.

$ res(e^(st) Y(s), ik) = \frac {e^(ikt)(ik + 1)}{2ik} $
$ res(e^(st) Y(s), -ik) = \frac {e^(-ikt)(-ik + 1)}{-2ik} $

Dunque $ y(t) = \frac {e^(ikt)(ik + 1)}{2ik} + \frac {e^(-ikt)(-ik + 1)}{-2ik} $

Ho fatto un po di trasformazioni, probabilmente con qualche errore di calcolo, fino ad ottenere:

$ y(t) = \frac {1}{2} (e^(ikt) - e^(-ikt)) + \frac {1}{2ik} (e^(ikt) + e^(-ikt)) $

Ed infine:

$ y(t) = isen(kt) + \frac {1}{ik} cos(kt) $

Ora che dovrei fare?

[D4lF4zZI0]

Niente!!! Hai risolto. Devi solo osservare che le funzioni $ sen(kt) $ e $ cos(kt) $ sono limitate per definizione ed anche il fattore $1/(ik) $ è limitato per k diverso da 0. Quindi è finito

[Drake_89]

Lol. Pensavo di dover fare qualche magheggio su Y(s), dato che sotto certe ipotesi anche una trasformata di Laplace è limitata. Dici che se apro un'altra discussione su un altro esercizio mi bannano? Forse è meglio se la apro domani.. :p

Ps: mi sa che non deve esserci i davanti al primo addendo.

[D4lF4zZI0]

Eheh infatti; ricontrolla giusto se ci sono errori di distrazione, ma ci sei