Risoluzione per serie equazione differenziale

[marghe1991]

ciao a tutti..non riesco a capire come risolvere per serie la data equazione differenziale:

$x^2y^{\prime}'+xy^{\prime}-m^2y=0$
$m inNN$

io ho pensato anzitutto che l' eq. diff. abbia punto di singolarità in $X_o=0$ (nel testo non è indicato) tuttavia poi non so bene come considerare questo valore $m^2$ quando vado a cercare la soluzione.

grazie mille a tutti.

[gugo82]

Prendi una generica s.d.p. \(\sum a_n\ x^n\), calcolane le derivate prima e seconda, sostituisci nella EDO e determina delle relazioni ricorrenti tra i coefficienti.
Se, usando le relazioni ricorrenti, riesci a provare che il r.d.c. della serie è non nullo, allora la tua EDO ha per soluzione la somma delle s.d.p. \(\sum a_n\ x^n\).

[marghe1991]

ok..ho sostituito all'interno dell'equazione differenziale e trovo:

$sum_{n=0}^\infty a_n(n-1)nx^n + sum_{n=0}^\infty a_n(n)x^n - m^2sum_{n=0}^\infty a_nx^n=0$

raccogliendo dunque la sommatoria e la potenza $x^n$ determino

$a_n(n-1)n +a_n(n) - m^2 a_n=0$

posso eliminare gli $a_n$

$(n-1)n +n- m^2=0$

cosa posso dire a questo punto?

[gugo82]

Occhio che:
\[
\begin{split}
y=\sum_{n=0}^\infty a_n\ x^n \quad &\Rightarrow \quad y^\prime=\sum_{n=1}^\infty n\ a_n\ x^{n-1}\\
&\Rightarrow \quad y^{\prime \prime}=\sum_{n=2}^\infty n\ (n-1)\ a_n\ x^{n-2}
\end{split}
\]
quindi sostituendo nella EDO trovi...

[marghe1991]

si certo però nella eq. diff. per esempio nel termine $x^2y^"$ ho quel $x^2$ che mi va ad influire sul termine $x^(n-2)$ della soluzione trasformandolo in $x^n$
lo stesso quando vado a sostituire per $xy'$ (sempre dall'equazione differenziale) che da $x^(n-1)$ mi diventa $x^n$
oppure sbaglio?..

[gugo82]

"marghe1991":si certo però nella eq. diff. per esempio nel termine $x^2y^"$ ho quel $x^2$ che mi va ad influire sul termine $x^(n-2)$ della soluzione trasformandolo in $x^n$
lo stesso quando vado a sostituire per $xy'$ (sempre dall'equazione differenziale) che da $x^(n-1)$ mi diventa $x^n$
oppure sbaglio?..

Non sbagli, però poi mica puoi semplificare gli \(a_n\), che sono le tue incognite...

Hai:
\[
x^2\ y^{\prime \prime} +x\ y^\prime -m^2\ y = \sum_{n=2}^\infty n\ (n-1)\ a_n\ x^n + \sum_{n=1}^\infty n\ a_n\ x^n -\sum_{n=0}^\infty m^2\ a_n\ x^n
\]
e si vede che le serie partono da indici diversi; quindi c'è bisogno di riordinare un po' gli addendi prima di sommare.
Innanzitutto, facciamo in modo che tutte e tre le serie comincino dall'indice \(2\):
\[
\begin{split}
\sum_{n=2}^\infty &n\ (n-1)\ a_n\ x^n + \sum_{n=1}^\infty n\ a_n\ x^n -\sum_{n=0}^\infty m^2\ a_n\ x^n \\
&= \sum_{n=2}^\infty n\ (n-1)\ a_n\ x^n + a_1\ x +\sum_{n=2}^\infty n\ a_n\ x^n -m^2\ a_0-m^2\ a_1\ x -\sum_{n=2}^\infty m^2\ a_n\ x^n
\end{split}
\]
da cui:
\[
\begin{split}
x^2\ y^{\prime \prime} +x\ y^\prime -m^2\ y &= -m^2\ a_0 + (1-m^2)\ a_1\ x + \sum_{n=2}^\infty \Big[ n\ (n-1)+n-m^2\Big]\ a_n\ x^n \\
&= -m^2\ a_0 + (1-m^2)\ a_1\ x + \sum_{n=2}^\infty (n^2-m^2)\ a_n\ x^n\; .
\end{split}
\]
Conseguentemente, la tua serie è soluzione della EDO omogenea se e solo se tutti i coefficienti dell'ultimo membro della precedente catena di uguaglianze sono nulli, i.e. se:
\[
\begin{cases}
-m^2\ a_0 =0\\
(1-m^2)\ a_1 =0\\
(4-m^2)\ a_2 =0\\
\phantom{===} \vdots\\
(n^2-m^2)\ a_n=0 &\text{, per ogni } n\geq 2\\
\phantom{===} \vdots
\end{cases}
\]
A questo punto bisogna distinguere a seconda dei possibili valori di \(m\):

[*:3tm5iis6] se \(m=0\) il sistema è soddisfatto scegliendo \(a_1=a_2=\cdots = a_n= \cdots =0\) ma con \(a_0\) del tutto arbitrario; ergo la tua serie contiene solo il termine di grado \(0\) e le soluizoni analitiche della tua EDO sono tutte e sole le funzioni \(y(x)=a_0\), con \(a_0\in \mathbb{R}\);

[/*:m:3tm5iis6]
[*:3tm5iis6] se \(m=1\) il sistema è soddisfatto scegliendo \(a_0=a_2=\cdots = a_n= \cdots =0\) ma con \(a_1\) del tutto arbitrario; ergo la tua serie contiene solo il termine di grado \(1\) e le soluzioni analitiche della tua EDO sono tutte e sole le funzioni \(y(x)=a_1\ x\), con \(a_1\in \mathbb{R}\);

[/*:m:3tm5iis6]
[*:3tm5iis6] se \(m=2\) il sistema è soddisfatto scegliendo \(a_0=a_1=a_3=\cdots = a_n= \cdots =0\) ma con \(a_2\) del tutto arbitrario; ergo la tua serie contiene solo il termine di grado \(2\) e le infinite soluzioni analitiche della tua EDO sono tutte e sole le funzioni \(y(x)=a_2\ x^2\), con \(a_2\in \mathbb{R}\);

...

[/*:m:3tm5iis6]
[*:3tm5iis6] in generale, se \(m=\nu\geq 1\) il sistema è soddisfatto scegliendo \(a_0=a_1=\cdots = a_{\nu -1}=a_{\nu +1}= \cdots =0\) ma con \(a_\nu\) del tutto arbitrario; ergo la tua serie contiene solo il termine di grado \(\nu\) e le infinite soluzioni analitiche della tua EDO sono tutte e sole le funzioni \(y(x)=a_\nu\ x^\nu\), con \(a_\nu \in \mathbb{R}\).[/*:m:3tm5iis6][/list:u:3tm5iis6]

Con lo stesso tipo di considerazioni si vede che se \(m \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}\), la tua EDO non ammette altre soluzioni analitiche eccetto quella identicamente nulla.
Se invece \(m\in \mathbb{Z}^-\), diciamo \(m=-\nu\) con \(\nu \in \mathbb{N}\), allora la tua EDO ammette infinite soluzioni del tipo \(y(x)=a_\nu\ x^\nu\), con \(a_\nu \in \mathbb{R}\).