Risoluzione PDE
Premetto che non so niente di PDE che da noi si fanno al terzo anno (io devo inziare il secondo) ma mi servirebbe sapere come si risolve questa equazione:
$(del P(x, t))/(del t)=D(del^2 P(x,t))/(del x^2)$
con la condizione
$P(x, 0)=delta(x)$
dove $delta(x)$ è la delta di Dirac.
Grazie !
$(del P(x, t))/(del t)=D(del^2 P(x,t))/(del x^2)$
con la condizione
$P(x, 0)=delta(x)$
dove $delta(x)$ è la delta di Dirac.
Grazie !
Risposte
È l'equazione del calore con dato iniziale la delta di Dirac, quindi la soluzione è la soluzione fondamentale dell'equazione del calore (con opportuni accorgimenti per via della $D$ che di solito è $1$), e, a meno di errori di conto da parte mia, dovrebbe essere
$P (x,t) := (1)/((4 D \pi t)^(n/2)) exp ((|x|^2)/(4 D t))$
dove $n$ è la dimensione dello spazio.
$P (x,t) := (1)/((4 D \pi t)^(n/2)) exp ((|x|^2)/(4 D t))$
dove $n$ è la dimensione dello spazio.
Grazie irenze.
Il problema è che sapevo già la soluzione; mi interessava sapere come ci si arrivasse.
Comunque non è l'equazione del calore (che è formalmente identica) ma l'equazione di Fick applicata ad una particella che si muove in un reticolo unidimensionale.
Qualcuno sa come si risolve?
Il problema è che sapevo già la soluzione; mi interessava sapere come ci si arrivasse.
Comunque non è l'equazione del calore (che è formalmente identica) ma l'equazione di Fick applicata ad una particella che si muove in un reticolo unidimensionale.
Qualcuno sa come si risolve?
Eq. della conduzione 1D in assenza di generazione interna, legge di Fick 1d, Primo problema impulsivo di Stokes........
sono tutti apparteneti alla classe della più semplice eq. parabolica cioè quella che hai scritto.
Il procedimento di soluzione (separazione delle variabili) lo trovi tranquillamente su qlk pdf
in rete basta che vai su google con "eq. alle derivate parziali" ecc. ecc.
E' un procedimento noto e stra-noto...nn ti preoccupare.
sono tutti apparteneti alla classe della più semplice eq. parabolica cioè quella che hai scritto.
Il procedimento di soluzione (separazione delle variabili) lo trovi tranquillamente su qlk pdf
in rete basta che vai su google con "eq. alle derivate parziali" ecc. ecc.
E' un procedimento noto e stra-noto...nn ti preoccupare.
Il procedimento per arrivarci è un po' lunghetto, se ho un po' di tempo più tardi te lo scrivo.
L'idea è di trovare una soluzione di tipo particolare (soluzione di similitudine) e fare opportune ipotesi.
L'idea è di trovare una soluzione di tipo particolare (soluzione di similitudine) e fare opportune ipotesi.
Io avevo assunto che volesse risolvere in tutto lo spazio, e in questo caso di solito non si fa per separazione di variabili...
Se vuoi la separazione di variabili la trovi qui.
Il procedimento per trovare la soluzione fondamentale su tutto lo spazio invece è questo:
Sia $u = u(x,t)$ una soluzione.
Consideriamo una particolare trasformazione di scala della $u$: $v(x,t) = \lambda^\alpha u(\lambda^\beta x, \lambda t)$, $\lambda > 0$, $\alpha, \beta \in RR$ (trasformazione di similitudine).
Vogliamo che $v$ sia soluzione per ogni $\lambda > 0$.
Imponendo che $v$ soddisfi l'equazione troveremo condizioni (relazioni) tra $\lambda$, $\alpha$, $\beta$.
Abbiamo
$(\del v)/(\del t) = \lambda^(\alpha + 1) (\del u)/(\del t)$,
$\Delta v = \lambda^(\alpha + 2\beta) \Delta u$.
Allora
$(\del v)/(\del t) - D \Delta v = \lambda^\alpha [\lambda (\del u)/(\del t) - \lambda^(2 \beta) D \Delta u]$
e imponendo che il membro di destra sia $0$ troviamo che deve essere $\beta = 1/2$.
Abbiamo dunque che se $u$ è soluzione, $v(x,t) := \lambda^\alpha u(\sqrt(\lambda) x, \lambda t)$ è soluzione per ogni $\lambda > 0$ (soluzione di similitudine).
Facciamo un passo ulteriore: chiediamo che $u$ sia invariante per questo tipo di trasformazioni, cioè imponiamo
$u(x,t) = \lambda^\alpha u(\sqrt(\lambda) x, \lambda t)$.
Una $u$ che soddisfa quest'uguaglianza si dice soluzione autosimilare.
Scegliamo $\lambda = 1/t$. Avremo allora
$u(x,t) = 1/(t^\alpha) u(x/(\sqrt(t)),1) =: 1/(t^\alpha) f(y)$
dove $y = x/(\sqrt(t))$.
Calcoliamo le derivate di $u$:
$(\del u)/(\del t) = -t^(-\alpha - 1) [\alpha f + y/2 * \nabla_y f]$,
$\Delta u = t^(-\alpha - 1) \nabla_y f$.
Imponendo che $u$ soddisfi l'equazione troviamo
$0 = (\del u)/(\del t) - D \Delta u =t^(-\alpha - 1) [D \Delta_y f + y/2 * \nabla_y f + \alpha f]$
e quindi deve valere
\Delta f + y/2 * \nabla f + \alpha f = 0$ in $RR^n$.
Facciamo un'ulteriore semplificazione: imponiamo che $u$ sia radiale e dunque
$f = f(r)$
dove $r := |y|$.
L'equazione di prima diventa
$D f'' + D (n-1)/r f' + r/2 f' + \alpha f = 0$.
Moltiplichiamo per $r^(n-1)$:
$[D r^(n-1) f']' + (r^n)/2 f' + \alpha r^(n-1) f = 0$
Scegliamo $\alpha = n/2$: l'equazione diventa
$[D r^(n-1) f']' + [(r^n)/2 f]' = 0$
cioè
$D r^(n-1) f' + (r^n)/2 f = costante$.
Scegliamo tale costante uguale a $0$:
$D r^(n-1) f' + (r^n)/2 f = 0$.
Facciamo ancora l'ipotesi che sia $f > 0$: possiamo dividere per $f'$ e otteniamo
$(f')/f = - r/(2D)$
e dunque
$f(r) = C e^((-r^2)/(4D))$
cioè
$u(x,t) = C/(t^(n/2)) e^((-|x|^2)/(4Dt))$.
Infine la costante $C = 1/((4 \pi D)^(n/2))$ è scelta in modo che la $u$ sia normalizzata, ossia
$\int_(RR^n) u(x,t) dx = 1$.
Se vuoi la separazione di variabili la trovi qui.
Il procedimento per trovare la soluzione fondamentale su tutto lo spazio invece è questo:
Sia $u = u(x,t)$ una soluzione.
Consideriamo una particolare trasformazione di scala della $u$: $v(x,t) = \lambda^\alpha u(\lambda^\beta x, \lambda t)$, $\lambda > 0$, $\alpha, \beta \in RR$ (trasformazione di similitudine).
Vogliamo che $v$ sia soluzione per ogni $\lambda > 0$.
Imponendo che $v$ soddisfi l'equazione troveremo condizioni (relazioni) tra $\lambda$, $\alpha$, $\beta$.
Abbiamo
$(\del v)/(\del t) = \lambda^(\alpha + 1) (\del u)/(\del t)$,
$\Delta v = \lambda^(\alpha + 2\beta) \Delta u$.
Allora
$(\del v)/(\del t) - D \Delta v = \lambda^\alpha [\lambda (\del u)/(\del t) - \lambda^(2 \beta) D \Delta u]$
e imponendo che il membro di destra sia $0$ troviamo che deve essere $\beta = 1/2$.
Abbiamo dunque che se $u$ è soluzione, $v(x,t) := \lambda^\alpha u(\sqrt(\lambda) x, \lambda t)$ è soluzione per ogni $\lambda > 0$ (soluzione di similitudine).
Facciamo un passo ulteriore: chiediamo che $u$ sia invariante per questo tipo di trasformazioni, cioè imponiamo
$u(x,t) = \lambda^\alpha u(\sqrt(\lambda) x, \lambda t)$.
Una $u$ che soddisfa quest'uguaglianza si dice soluzione autosimilare.
Scegliamo $\lambda = 1/t$. Avremo allora
$u(x,t) = 1/(t^\alpha) u(x/(\sqrt(t)),1) =: 1/(t^\alpha) f(y)$
dove $y = x/(\sqrt(t))$.
Calcoliamo le derivate di $u$:
$(\del u)/(\del t) = -t^(-\alpha - 1) [\alpha f + y/2 * \nabla_y f]$,
$\Delta u = t^(-\alpha - 1) \nabla_y f$.
Imponendo che $u$ soddisfi l'equazione troviamo
$0 = (\del u)/(\del t) - D \Delta u =t^(-\alpha - 1) [D \Delta_y f + y/2 * \nabla_y f + \alpha f]$
e quindi deve valere
\Delta f + y/2 * \nabla f + \alpha f = 0$ in $RR^n$.
Facciamo un'ulteriore semplificazione: imponiamo che $u$ sia radiale e dunque
$f = f(r)$
dove $r := |y|$.
L'equazione di prima diventa
$D f'' + D (n-1)/r f' + r/2 f' + \alpha f = 0$.
Moltiplichiamo per $r^(n-1)$:
$[D r^(n-1) f']' + (r^n)/2 f' + \alpha r^(n-1) f = 0$
Scegliamo $\alpha = n/2$: l'equazione diventa
$[D r^(n-1) f']' + [(r^n)/2 f]' = 0$
cioè
$D r^(n-1) f' + (r^n)/2 f = costante$.
Scegliamo tale costante uguale a $0$:
$D r^(n-1) f' + (r^n)/2 f = 0$.
Facciamo ancora l'ipotesi che sia $f > 0$: possiamo dividere per $f'$ e otteniamo
$(f')/f = - r/(2D)$
e dunque
$f(r) = C e^((-r^2)/(4D))$
cioè
$u(x,t) = C/(t^(n/2)) e^((-|x|^2)/(4Dt))$.
Infine la costante $C = 1/((4 \pi D)^(n/2))$ è scelta in modo che la $u$ sia normalizzata, ossia
$\int_(RR^n) u(x,t) dx = 1$.