Risoluzione numero complesso

[alexroma1]

Ciao a tutti

Ho provato a risolvere un numero complesso e volevo avere conferma del risultato.

Devo trovare tutte le soluzioni complesse dell'equazione:

$z^3=8i$

Io ho trovato che: $rho=2$

e che: $theta=0$ in quanto $tan theta=8/0$

Quindi le tre soluzioni sono:

$z_1=0/3=0$

$z_2=0+2/3pi$

$z_3=0+4/3pi$

E' giusto? Ciao e grazie

[_prime_number]

Scusa ma come può essere giusto dato che $0^3 =0 $ ?

Una soluzione è certamente -2i. Infatti $(-2i)^3 = -8i^3=-8i i^2 =8i$
A questo punto consideriamo le radici terze dell'unità ovvero le soluzioni di $w^3 =1$.
Sono $w_(0) =1 , w_(1) = cos(2 \pi /3) + i sen(2 \pi /3) , w_(2) = cos(4 \pi /3) + isen(4 \pi /3)$
[Le radici n-esime dell'unità sono $w= cos(2k \pi /n) + i sen(2k \pi /n)$ con k=0,1,...,n-1 . In questo caso quindi n=3 e k=0,1,2]
Quindi le soluzioni della tua equazioni saranno $-2i w_(0) , -2i w_(1) , -2i w_(2)$.
Questo perchè in generale se hai un'equazione del tipo $\beta ^n = \gamma$ osservi questo:
se $\beta_(1) , \beta_(2)$ sono soluzioni, allora $(\beta_(1))/(\beta_(2))$ è una radice n-esima di 1. Infatti $((\beta_(1))/(\beta_(2)))^n = ((\beta_(1))^n)/((\beta_(2))^n) = (\gamma)/(\gamma) =1$
Vicerversa, se hai una soluzione $\beta_(1)$ ed una radice n-esima di 1 w, osservi che $(w \beta_(1))^n = \gamma $.
Quindi le soluzioni di $\beta ^n = \gamma$ saranno tutte e sole le seguenti:
$\beta w_(0), ..., \beta w_(n-1)$ dove $\beta$ è una soluzione nota e $w_0, ..., w_(n-1)$ le radici n-esime di 1.

Dimmi se hai bisogno di ulteriori chiarimenti.

Paola

[alexroma1]

Ok ci sono adesso

Grazie mille!