Risoluzione limti con Taylor
Ciao a tutti, qualcuno mi puo dare una mano con questo limite? A me servirebbe più che la soluzione, il metodo per poterlo risolvere, non so quale trasformazione applicare per prima e come portare tutto allo stesso grado.
lim x->0 ( (log(1+sinx) - sinx + ( (x^2)/2) ) / ( (x^3) ( (e^x) +2 ) ) )
Volevo sapere ad esempio oltre allo svolgimente (se possibile) se devo applicare prima la traformazione di sinx o log(1+x)
Grazie ciao Francesco
lim x->0 ( (log(1+sinx) - sinx + ( (x^2)/2) ) / ( (x^3) ( (e^x) +2 ) ) )
Volevo sapere ad esempio oltre allo svolgimente (se possibile) se devo applicare prima la traformazione di sinx o log(1+x)
Grazie ciao Francesco
Risposte
Devi applicare prima la funzione esterna e poi quella interna, quindi $log(1+sinx)$ svilluppi prima il logaritmo e poi la funzione $sinx$
Potresti darmi la soluzione in modo che possa controllare se svolgo l'esercizio in modo corretto?
Grazie
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Scusa forse più che la soluzione mi sarebbe utile lo sviluppo di log(1+sinx) visto che quello trovo molte difficoltà
Grazi Francesco
Grazie
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Scusa forse più che la soluzione mi sarebbe utile lo sviluppo di log(1+sinx) visto che quello trovo molte difficoltà
Grazi Francesco
Per prima cosa sistemiamo il testo:
$lim_(xto0) (log(1+sinx) - sinx + x^2/2 ) / ( x^3 ( e^x +2 ) )$
Adesso sviluppiamo le varie funzioni:
$sinx = x - x^3/(3!) + o(x^3)$
$log(1+sinx) = x - x^2/2 - x^3/(3!) +x^3/3 + o(x^3)$
$e^x = 1 + o(1)$
Quindi risulta
$lim_(xto0) (log(1+sinx) - sinx + x^2/2 )/(x^3 (e^x +2)) = lim_(xto0) (x - x^2/2 - x^3/(3!) +x^3/3 - (x - x^3/(3!)) + x^2/2 +o(x^3))/(3x^3 + o(x^3)) = 1/9$
$lim_(xto0) (log(1+sinx) - sinx + x^2/2 ) / ( x^3 ( e^x +2 ) )$
Adesso sviluppiamo le varie funzioni:
$sinx = x - x^3/(3!) + o(x^3)$
$log(1+sinx) = x - x^2/2 - x^3/(3!) +x^3/3 + o(x^3)$
$e^x = 1 + o(1)$
Quindi risulta
$lim_(xto0) (log(1+sinx) - sinx + x^2/2 )/(x^3 (e^x +2)) = lim_(xto0) (x - x^2/2 - x^3/(3!) +x^3/3 - (x - x^3/(3!)) + x^2/2 +o(x^3))/(3x^3 + o(x^3)) = 1/9$
Grazie, mi hai illuminato!!
Io pensavo che quando andava a sostitire log(1+sinx) dovevo sosituire alle x il sinx
log (1+sinx)= sinx - ((senx)^2)/2 e così via!!!
Grazie Grazie
Io pensavo che quando andava a sostitire log(1+sinx) dovevo sosituire alle x il sinx
log (1+sinx)= sinx - ((senx)^2)/2 e così via!!!
Grazie Grazie
"quseto":
Grazie, mi hai illuminato!!
Io pensavo che quando andava a sostitire log(1+sinx) dovevo sosituire alle x il sinx
log (1+sinx)= sinx - ((senx)^2)/2 e così via!!!
Grazie Grazie
Ma infatti è così, ho fatto esattamente come hai detto tu...
Scusa, ma no riesco proprio a fare quello sviluppo mi potresti aiutare di nuovo?
Grazie Francesco
Grazie Francesco
Scusa se rompo, ma lo sviluppo con Taylor di log(1+sinx) mi servirebbe molto...
Vi ringrazio Ciao Francesco
Vi ringrazio Ciao Francesco
Guardiamo prima il denominatore: ci accorgiamo che il termine di grado minimo è $x^3$, quindi anche al numeratore ci fermeremo alle potenze di $x$ a esponente non maggiore di $3$.
Detto questo, risulta come hai detto anche tu:
$log (1+sinx)= sinx - ((sinx)^2)/2 + ((sinx)^3)/3) - ((sinx)^4)/4) ...$
In questa formula, ovunque vediamo $sinx$ dobbiamo sostituire lo sviluppo di $sinx$ che è
$sinx = x - x^3/(3!) + o(x^3)$ notare che mi sono fermato a $x^3$ per i motivi detti prima
Allora è
$(sinx)^2 = (x - x^3/(3!) + o(x^3))^2$
Bisognerebbe sviluppare il quadrato del trinomio, ma è facile rendersi conto che, a parte $x^2$, tutti gli altri termini hanno grado maggiore di $3$ e quindi saranno $o(x^3)$, dunque non ne teniamo conto
Vediamo ancora
$(sinx)^3 = x^3 + o(x^3)$ per lo stesso motivo
E infine tutti i termini da $(sinx)^4$ in poi sono anch'essi $o(x^3)$
Spero che la cosa ti sia chiara.
Detto questo, risulta come hai detto anche tu:
$log (1+sinx)= sinx - ((sinx)^2)/2 + ((sinx)^3)/3) - ((sinx)^4)/4) ...$
In questa formula, ovunque vediamo $sinx$ dobbiamo sostituire lo sviluppo di $sinx$ che è
$sinx = x - x^3/(3!) + o(x^3)$ notare che mi sono fermato a $x^3$ per i motivi detti prima
Allora è
$(sinx)^2 = (x - x^3/(3!) + o(x^3))^2$
Bisognerebbe sviluppare il quadrato del trinomio, ma è facile rendersi conto che, a parte $x^2$, tutti gli altri termini hanno grado maggiore di $3$ e quindi saranno $o(x^3)$, dunque non ne teniamo conto
Vediamo ancora
$(sinx)^3 = x^3 + o(x^3)$ per lo stesso motivo
E infine tutti i termini da $(sinx)^4$ in poi sono anch'essi $o(x^3)$
Spero che la cosa ti sia chiara.
Ti ringrazio adesso tutto mi è un po' più chiaro!!
Grazie francesco
Grazie francesco
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