Risoluzione limiti notevoli

[tommyr89]

Un saluto a tutti!

Come esercizio dovrei risolvere dei limiti attraverso i limiti notevoli, ma non sempre riesco a capire come fare, ad esempio:

limite $(cosx/(pi/2-x))$tende a $pi/2$
io so che $1-cosx$ asintotico $ 1/2x^2$ ma non saprei in questo caso come calcolarlo e rapportarlo ad denominatore

altra situazione ad esempio è
limite $x cotanx$ tende a infinito...

Datemi un AiUtO!!

[Paolo902]

$lim_(x to pi/2) cosx/(pi/2-x)$

Sostituisci $y=pi/2-x$ e ricorda una nota identità goniometrica sul seno e coseno di archi associati. Ottieni un limite notevole e hai finito.

[tommyr89]

sinceramente non ho capito in base a quale criterio devo usare la y e poi non capisco quale sia questa identità goniometrica

[Paolo902]

Nessun criterio particolare, solo un piccolo trucchetto abbastanza standard: è un principio di sostituzione (se vuoi vederlo in maniera raffinata discende dal teorema del limite delle funzioni composte).

Hai mai visto robe del genere? Se è la prima volta capisco che può sembrare strambo.. se è così dimmelo che lo facciamo insieme, vedrai sarà un gioco da ragazzi.

P.S. Qual è il seno di 30°? E il coseno di 60°?

[*v.tondi]

Come giustamente dice Paolo90 se effettui la sostituzione $y=pi/2-x$ ottieni:
$lim_(x to pi/2) cosx/(pi/2-x)=lim_(y to 0) cos(pi/2-y)/y=lim_(y to 0) (cos(y)cos(pi/2)+sin(y)sin(pi/2))/(y)=lim_(y to 0) (sin(y)sin(pi/2))/(y)=lim_(y to 0) (sin(y))/(y)=1$, per il limite notevole.
Ciao.

[tommyr89]

Grazie! adesso ho capito.. non sapevo ad esempio come si risolveva $cos(pi/2-y)$.
certo che bisogna sapere a memoria tantissime formule strane..e poi la sostituzione della y non si capisce bene quando usarla..

L'altro si risolveva cosi vero?
$lim_(x to 0) xcotanx=lim_(x to 0) x(1/tanx)=lim_(x to 0) x/x=1$

mentre per quest'altro non so come fare:

$lim_(x to infty) x acotan (x)$

[*v.tondi]

Io avrei utilizzato il limite notevole:
$lim_(x to 0) tanx/x=1$, quindi $lim_(x to 0) xcotanx=lim_(x to 0) x 1/tanx=lim_(x to 0) 1/(tanx/x)=1/1$.
Ciao.

[tommyr89]

ancora non mi sono chiare tante cose ad esempio $lim_(x to pi/2) (pi/2-x)tanx $ come si risolve?
sostituendo la y ottengo $lim_(y to 0) y tan(pi/2-y) $ ma poi come risolvo $ tan(pi/2-y) $?

e poi non ho ancora capito come fare $lim_(x to infty) x acotan (x)$

ma quante cose bisognerebbe sapere a memoria??

[lordmarcho]

Prova a chiamare $y=acotan(x)$ così da ottenere $y->0$ ed ottenere:
$ycotan(y)$ e a questo punto puoi rifarti allo svolgimento di v.tondi fatto in precedenza!

[gugo82]

[mod="Gugo82"]@tommyr89: Potresti evitare il grassetto? (Cfr. regolamento, 3.5)[/mod]

[tommyr89]

Scusate!