Risoluzione limiti difficoltà media
Salve a tutti, mi sto imbattendo nella risoluzioni di esercizi sui limiti, con l'ausilio di wolframalpha riesco ad ottenere il risultato, ma non sempre la risoluzione di wolfram è sempre accettabile, perchè utilizzare de l'hopital all'infinito non è conveniente... Riscontro difficoltà nella risoluzione di questi, considero l'infinitesimo di ordine superiore ma non giungo allo stesso risultato.
I limiti sono i seguenti:
$\lim_{x \to \0}(sqrt(x^4+2|x|)-x^2)/(x^3+2arctan|x|)$
$\lim_{x \to \0^+}(sqrt(x^4+log(x+1))-x^2)/(x^2+sen(2x))$
In attesa di una vostra risposta, vi saluto tutti.
I limiti sono i seguenti:
$\lim_{x \to \0}(sqrt(x^4+2|x|)-x^2)/(x^3+2arctan|x|)$
$\lim_{x \to \0^+}(sqrt(x^4+log(x+1))-x^2)/(x^2+sen(2x))$
In attesa di una vostra risposta, vi saluto tutti.
Risposte
Hai provato con taylor ?
No posso risorverli o con de l'hopital altrimenti considerando gli infinitesimi
Ciao vito.x.file,
Benvenuto sul forum! Ti inviterei a scrivere le formule come specificato qui, invece che allegare immagini...
Comunque... Il primo limite lo risolverei con tutto meno che de L'Hopital:
$lim_{x to 0} frac{sqrt{x^4 + 2|x|} - x^2}{x^3 + 2arctan|x|} = lim_{x to 0} frac{(sqrt{x^4 + 2|x|} - x^2)(sqrt{x^4 + 2|x|} + x^2)}{(x \cdot x^2 + 2arctan|x|)(sqrt{x^4 + 2|x|} + x^2)} = $
$= lim_{x to 0} frac{2|x|}{(x |x|^2 + 2arctan|x|)(sqrt{x^4 + 2|x|} + x^2)} =$
$= lim_{x to 0} frac{2|x|}{(x |x|^2 + 2arctan|x|)(sqrt{x^4 + 2|x|} + x^2)} = $
$= lim_{x to 0} frac{2|x|}{2|x|(frac{x}{2}|x| + frac{arctan|x|}{|x|})(sqrt{x^4 + 2|x|} + x^2)} =$
$= lim_{x to 0} frac{1}{(frac{x}{2}|x| + frac{arctan|x|}{|x|})(sqrt{x^4 + 2|x|} + x^2)} =$
$= frac{1}{(0 + 1)(0 + 0)} = +\infty$
Ora s'è fatto un po' tardi, potrei finire con lo scrivere delle fesserie: la soluzione del secondo limite a domani, se avrai modificato il post iniziale scrivendo le formule ed eliminando le immagini...
Benvenuto sul forum! Ti inviterei a scrivere le formule come specificato qui, invece che allegare immagini...
Comunque... Il primo limite lo risolverei con tutto meno che de L'Hopital:
$lim_{x to 0} frac{sqrt{x^4 + 2|x|} - x^2}{x^3 + 2arctan|x|} = lim_{x to 0} frac{(sqrt{x^4 + 2|x|} - x^2)(sqrt{x^4 + 2|x|} + x^2)}{(x \cdot x^2 + 2arctan|x|)(sqrt{x^4 + 2|x|} + x^2)} = $
$= lim_{x to 0} frac{2|x|}{(x |x|^2 + 2arctan|x|)(sqrt{x^4 + 2|x|} + x^2)} =$
$= lim_{x to 0} frac{2|x|}{(x |x|^2 + 2arctan|x|)(sqrt{x^4 + 2|x|} + x^2)} = $
$= lim_{x to 0} frac{2|x|}{2|x|(frac{x}{2}|x| + frac{arctan|x|}{|x|})(sqrt{x^4 + 2|x|} + x^2)} =$
$= lim_{x to 0} frac{1}{(frac{x}{2}|x| + frac{arctan|x|}{|x|})(sqrt{x^4 + 2|x|} + x^2)} =$
$= frac{1}{(0 + 1)(0 + 0)} = +\infty$
Ora s'è fatto un po' tardi, potrei finire con lo scrivere delle fesserie: la soluzione del secondo limite a domani, se avrai modificato il post iniziale scrivendo le formule ed eliminando le immagini...
"pilloeffe":
Ciao vito.x.file,
Benvenuto sul forum! Ti inviterei a scrivere le formule come specificato qui, invece che allegare immagini...
Comunque... Il primo limite lo risolverei con tutto meno che de L'Hopital:
$lim_{x to 0} frac{sqrt{x^4 + 2|x|} - x^2}{x^3 + 2arctan|x|} = lim_{x to 0} frac{(sqrt{x^4 + 2|x|} - x^2)(sqrt{x^4 + 2|x|} + x^2)}{(x \cdot x^2 + 2arctan|x|)(sqrt{x^4 + 2|x|} + x^2)} = $
$= lim_{x to 0} frac{2|x|}{(x |x|^2 + 2arctan|x|)(sqrt{x^4 + 2|x|} + x^2)} =$
$= lim_{x to 0} frac{2|x|}{(x |x|^2 + 2arctan|x|)(sqrt{x^4 + 2|x|} + x^2)} = $
$= lim_{x to 0} frac{2|x|}{2|x|(frac{x}{2}|x| + frac{arctan|x|}{|x|})(sqrt{x^4 + 2|x|} + x^2)} =$
$= lim_{x to 0} frac{1}{(frac{x}{2}|x| + frac{arctan|x|}{|x|})(sqrt{x^4 + 2|x|} + x^2)} =$
$= frac{1}{(0 + 1)(0 + 0)} = +\infty$
Ora s'è fatto un po' tardi, potrei finire con lo scrivere delle fesserie: la soluzione del secondo limite a domani, se avrai modificato il post iniziale scrivendo le formule ed eliminando le immagini...
Ringrazio pilloeffe per il benvenuto e per l'accurato svolgimento, e come indicato ho effettuato la modifica, chiedo scusa per la foto postata.
Ciao vito.x.file,
Sei stato bravo... Hai visto che non era poi così difficile? Poi vedrai che quando dovrai scrivere la tesi, e magari lo farai proprio in [tex]\LaTeX[/tex], questo "allenamento" ti servirà e ci ringrazierai...
Ed ora, come promesso, veniamo al secondo limite... Anche qui eviterei proprio de L'Hopital e lo risolverei in modo abbastanza simile al primo, pur facendo uso di limiti notevoli diversi:
$\lim_{x \to \0^+}frac{sqrt{x^4+log(x+1)} - x^2}{x^2 + \sin(2x)} = \lim_{x \to \0^+}frac{(sqrt{x^4+log(x+1)} - x^2)(sqrt{x^4+log(x+1)} + x^2)}{(x^2 + \sin(2x))(sqrt{x^4+log(x+1)} + x^2)} =$
$= \lim_{x \to \0^+}frac{log(x+1)}{(x^2 + \sin(2x))(sqrt{x^4+log(x+1)} + x^2)} =$
$= \lim_{x \to \0^+}frac{log(x+1)}{x} \cdot frac{1}{(x + 2frac{\sin x}{x} \cos x)(sqrt{x^4+log(x+1)} + x^2)} = 1 \cdot frac{1}{(0 + 2)(0 + 0)} = +\infty$
Sei stato bravo... Hai visto che non era poi così difficile? Poi vedrai che quando dovrai scrivere la tesi, e magari lo farai proprio in [tex]\LaTeX[/tex], questo "allenamento" ti servirà e ci ringrazierai...
Ed ora, come promesso, veniamo al secondo limite... Anche qui eviterei proprio de L'Hopital e lo risolverei in modo abbastanza simile al primo, pur facendo uso di limiti notevoli diversi:
$\lim_{x \to \0^+}frac{sqrt{x^4+log(x+1)} - x^2}{x^2 + \sin(2x)} = \lim_{x \to \0^+}frac{(sqrt{x^4+log(x+1)} - x^2)(sqrt{x^4+log(x+1)} + x^2)}{(x^2 + \sin(2x))(sqrt{x^4+log(x+1)} + x^2)} =$
$= \lim_{x \to \0^+}frac{log(x+1)}{(x^2 + \sin(2x))(sqrt{x^4+log(x+1)} + x^2)} =$
$= \lim_{x \to \0^+}frac{log(x+1)}{x} \cdot frac{1}{(x + 2frac{\sin x}{x} \cos x)(sqrt{x^4+log(x+1)} + x^2)} = 1 \cdot frac{1}{(0 + 2)(0 + 0)} = +\infty$
Ahah ti ringrazio, devo ammettere che è stato piu facile scriverli che non risolverli....vorrei acquisire la facilità con cui risolvi i limiti...io mi sono stoppato alla razionalizzazione, il limite notevole del logaritmo ok, ma alla formula di sdoppiamento non ci stavo pensando proprio...
Sapresti consigliarmi esercizi svolti dello stesso calibro, o anche piu complessi? Ovviamente che siano risolti in questo modo e non con taylor, grazie
Sapresti consigliarmi esercizi svolti dello stesso calibro, o anche piu complessi? Ovviamente che siano risolti in questo modo e non con taylor, grazie
Ciao vito.x.file,
Vedrai che ci arriverai... Sicuramente conta molto l'esperienza. Poi in realtà c'è anche dell'altro che non so spiegare e non so se chiamare "intuito": spesso osservo per un bel po' i limiti proposti e "vedo" la soluzione... I passaggi formali che seguono sono solo la rappresentazione della "visione". Poi qualche volta mi sbaglio anche...
In Rete si trova parecchio materiale, e anche su questo stesso forum... Ad esempio recentemente qui, ma ce ne sono parecchi altri: basta cercare le discussioni con qualche parola chiave tipo "limite"...
"vito.x.file":
...vorrei acquisire la facilità con cui risolvi i limiti...
Vedrai che ci arriverai... Sicuramente conta molto l'esperienza. Poi in realtà c'è anche dell'altro che non so spiegare e non so se chiamare "intuito": spesso osservo per un bel po' i limiti proposti e "vedo" la soluzione... I passaggi formali che seguono sono solo la rappresentazione della "visione". Poi qualche volta mi sbaglio anche...
"vito.x.file":
Sapresti consigliarmi esercizi svolti dello stesso calibro, o anche piu complessi?
In Rete si trova parecchio materiale, e anche su questo stesso forum... Ad esempio recentemente qui, ma ce ne sono parecchi altri: basta cercare le discussioni con qualche parola chiave tipo "limite"...
"pilloeffe":
Ciao vito.x.file,
[quote="vito.x.file"]...vorrei acquisire la facilità con cui risolvi i limiti...
Vedrai che ci arriverai... Sicuramente conta molto l'esperienza. Poi in realtà c'è anche dell'altro che non so spiegare e non so se chiamare "intuito": spesso osservo per un bel po' i limiti proposti e "vedo" la soluzione... I passaggi formali che seguono sono solo la rappresentazione della "visione". Poi qualche volta mi sbaglio anche...
"vito.x.file":
Sapresti consigliarmi esercizi svolti dello stesso calibro, o anche piu complessi?
In Rete si trova parecchio materiale, e anche su questo stesso forum... Ad esempio recentemente qui, ma ce ne sono parecchi altri: basta cercare le discussioni con qualche parola chiave tipo "limite"...
[/quote]Ho scovato quest'altro limite, c'è qualche passaggio che non mi entra...Allora svolgo applicando la razionalizzazione, poi so per certo che il limite notevole del seno per x tendente a zero, in qualche modo centra....il problema è che non riesco a capire cosa devo mettere in evidenza...grr
$\lim_{x \to \0^+}(x sen(x)-sqrt(x))/(sqrt(x^6+2x^5)-x^3)$ = $\lim_{x \to \0^+}(x sen(x)-sqrt(x))/(sqrt(x^6+2x^5)-x^3)
(sqrt(x^6+2x^5)+x^3)/(sqrt(x^6+2x^5)+x^3)$ = $\lim_{x \to \0^+}(x sen(x)-sqrt(x))/(2x^5)(sqrt(x^6+2x^5)+x^3)$ =
Da qui in poi le ho provate molte...ho anche provato mettendo x3 in evidenza, certo il risultato è corretto, ma lo svolgimento? cosa ve ne pare?
Ciao vito.x.file,
Completerei così:
$\lim_{x \to \0^+}(x \sin(x)-sqrt(x))/(2x^5)(sqrt(x^6+2x^5)+x^3) = \lim_{x \to \0^+}(x \sin(x)-sqrt(x))/(2x^5) x^3 (sqrt(1+2/x)+1) =$
$= \lim_{x \to \0^+}(x \sin(x)-sqrt(x))/(2x^2) (sqrt(1+2/x)+1) = frac{1}{2} \lim_{x \to \0^+}(frac{x \sin(x)}{x^2}-frac{sqrt(x)}{x^2}) (sqrt(1+2/x)+1) =$
$= frac{1}{2} \lim_{x \to \0^+}(frac{\sin(x)}{x}-frac{1}{x sqrt(x)}) (sqrt(1+2/x)+1) = frac{1}{2}(1 - \infty)(+\infty) = -\infty$
Completerei così:
$\lim_{x \to \0^+}(x \sin(x)-sqrt(x))/(2x^5)(sqrt(x^6+2x^5)+x^3) = \lim_{x \to \0^+}(x \sin(x)-sqrt(x))/(2x^5) x^3 (sqrt(1+2/x)+1) =$
$= \lim_{x \to \0^+}(x \sin(x)-sqrt(x))/(2x^2) (sqrt(1+2/x)+1) = frac{1}{2} \lim_{x \to \0^+}(frac{x \sin(x)}{x^2}-frac{sqrt(x)}{x^2}) (sqrt(1+2/x)+1) =$
$= frac{1}{2} \lim_{x \to \0^+}(frac{\sin(x)}{x}-frac{1}{x sqrt(x)}) (sqrt(1+2/x)+1) = frac{1}{2}(1 - \infty)(+\infty) = -\infty$
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