Risoluzione limiti con Taylor

[Michele Di Guida]

Salve, a gennaio ho l'esame di Analisi 1 e vorrei chiarirmi qualche dubbio sui limiti su Taylor. Ho capito come si usa il polinomio di taylor, infatti quando mi trovo a svolgere esercizi di bassa-media difficoltà riesco a risolverli con semplicità, ma quando le funzioni diventano composte ho problemi con gli o-piccolo, e mi risulta davvero complicato svolgere gli esercizi. Ad esempio ho problemi con l'esercizio seguete
$ lim x->0 [(arcsinx^2 - x^2-(log(1+sin^3x))^2]/[(arctgx^3)^2+e^(x^6)-1]] $

Mi aiutate a risolverlo passo passo?

[ciampax]

Per prima cosa, inizia a scrivere da una parte gli sviluppi delle funzioni presenti: $\arcsin t,\ \sin t,\ \log(1+t),\ \arctan t,\ e^t$. Da queste devi procedere al calcolo degli sviluppi. In generale, quando hai a che fare con i limiti, uno dei due, tra numeratore e denominatore, risulta "più semplice" da sviluppare, nel senso che risulta più immediato capire quale sia l'ordine a cui fermarsi nello sviluppo. Una volta sviluppato questo termine più semplice nella forma $\alpha x^n+o(x^n)$, per determinare l'ordine di arresto dell'altro si procede scegliendo la potenza di ordine più vicino (per eccesso) a $n$ (quindi $n+1$ o $n+2$, a seconda del tipo di funzioni presenti) e in base a questa scelta si possono "eliminare" nel corso del procedimento, le potenze più alte (ad esempio, se volessimo fissare l'ordine massimo a $n=3$ e avessimo da effettuare il calcolo $(1+x^2)^2$ sarebbe sufficiente scrivere $(1+x^2)^2=1+2x^2+o(x^2)$ in quanto il termine successivo nel quadrato di binomio, $x^4$, eccede l'rodine fissato).

Sulla base di questi consigli, inizia a effettuare gli sviluppi, tenendo anche conto che è sempre meglio sviluppare prima i termini più esterni, nelle funzioni composte, e dopo quelli più interni, per cui, in questo caso specifico, sarebbe opportuno porre $t=\sin x$ per sviluppare $\log(1+\sin^3 x)$ in modo da dover sviluppare poi $\log(1+t^3)=t^3-...$ e da lì sostituire lo sviluppo di $\sin x$ al posto di $t$.