Risoluzione limiti

[Slayo]

Buonasera a tutti, a luglio devo dare l'esame di Analisi e mi sto esercitando col calcolo dei limiti... Mi sono bloccato da un bel po' nella risoluzione di questi due:

1) \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x-\sin x} \)
Ho provato a separare la frazione, ad esplicitare \(\displaystyle \tan x = \frac {\sin x}{\cos x} \), fare vari raccoglimenti ma nulla. Il risultato dovrebbe essere 3.


2) \(\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{1}{\log {x}} - \frac{1}{x-1} \)
Ho provato con la sostituzione \(\displaystyle y=x-1 \) e cercato di ricondurmi ai limiti notevoli facendo il m.c.m., ma niente. Il risultato dovrebbe essere \(\displaystyle \frac {1}{2} \)

Vi ringrazio per l'aiuto, sto andando nel pallone...

[andrep1992]

Per il primo limite potresti usare gli sviluppi di Mc-Laurin, il secondo invece non dovrebbe risultare 1?

[Slayo]

Ho valutato l'uso di McLaurin, ma cercavo un metodo di risoluzione che sfruttasse solo i limiti notevoli, senza usare neanche De L'Hopital.

Al secondo ho sbagliato a digitare: x->1 e non a 0. Ho corretto la traccia.

Grazie per la risposta.

[Rocketz]

Il primo comunque viene applicando Hopital due volte ti conviene usare quel modo, rapido e indolore

[andrep1992]

Rocketz ha senz'altro ragione... ma è molto meno indolore sviluppare secondo me.. eviti di derivare due volte numeratore e denominatore..

[21zuclo]

"Slayo":
2) \(\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{1}{\log {x}} - \frac{1}{x-1} \)

mi è venuto $1/2$

ho fatto così, usando lo sviluppo del secondo ordine e al denominatore al primo ordine..ora vedi

$\lim_{x\rightarrow 1}(1)/(\ln x)-(1)/(x-1)=\lim_{t\rightarrow 0}(1)/(\ln(1+t))-1/t=\lim_{t\rightarrow 0}(t-\ln(1+t))/(t(\ln(1+t)))=\lim_{t\rightarrow 0} (t-t+(t^2)/(2)+o(t^2))/(t(t+o(t)))=$

$=\lim_{t\rightarrow 0}((t^2)/(2)+o(t^2))/(t^2+o(t^2)) \sim (t^2)/(2)\cdot (1)/(t^2)=1/2$ per $t\rightarrow 0$

[Slayo]

Grazie a tutti per le risposte, effettivamente sviluppando si risolve tutto molto facilmente. Mi eserciterò di più sugli sviluppi