Risoluzione limiti

[saledan]

Nell'ultimo compito mi sono ritrovato due limiti che non ho saputo risolvere.
Anche ora che con più calma sto provando a risolverli non riesco a trovare sostituzioni, o trasformazioni che mi semplifichino i limiti e non arrivo alla risoluzione.
Per favore mi potreste dare una mano?

1) $lim_(x->0^+)(e^(x+x^2)-1)/(tgx^2)$
2) $lim_(x->+infty)(cosx)/(x^3-x^5)$

Per provare a risolvere il primo mi viene da prendere come riferimento i limiti notevoli $lim_(x->0)(tgx)/x$ e $lim_(x->0)(e^x-1)/x$
Poi potrei riscrivere $e^(x+x^2)$ come $e^x*e^(x^2)$ e quindi riscrivere il limite come
$lim_(x->0^+)(e^(x+x^2)-1)/(tgx^2) = lim_(x->0^+)(e^x*e^(x^2)-1)/(tgx^2) = lim_(x->0^+)(e^x*e^(x^2))/(tgx^2)-1/(tgx^2) = lim_(x->0^+)e^x*(e^(x^2))/(tgx^2)-1/(tgx^2)$
e quindi dovrebbe poi equivalere a $lim_(x->0^+)e^x*lim_(x->0^+)(e^(x^2))/(tgx^2)-lim_(x->0^+)1/(tgx^2)$
fino a quà il ragionamento è corretto? In tal caso mi blocco nella risoluzione di $lim_(x->0^+)1/(tgx^2)$ o $lim_(x->0^+)1/(tgx)$ perchè alla fine mi torna $infty-infty$

Mentre per il secondo $lim_(x->+infty)(cosx)/(x^3-x^5) = lim_(x->+infty)(cosx)/(x(x^2-x^4)) = lim_(x->+infty)(cosx)/(x(x^2-x^4)) = lim_(x->+infty)((cosx)/(senx))/(x/(senx)(x^2-x^4))$
solo che il limite notevole $lim_(x->0)(senx)/x$ ha $x->0$ e non ad infinito.
Non so altre trasfromazioni non mi vengono.


grazie mille
ciao

[_Tipper]

Per risolvere il primo ti conviene scriverlo così

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{x + x^2} - 1}{x + x^2} \frac{x + x^2}{"tg"(x^2)}$

Il primo termine è a posto, perché è un limite notevole, il secondo invece

$\frac{x + x^2}{"tg"(x^2)} = \frac{x}{"tg"(x^2)} + \frac{x^2}{"tg"(x^2)} = \frac{1}{x} \frac{x^2}{"tg"(x^2)} + \frac{x^2}{"tg"(x^2)}$

Ora dovresti essere in grado di dire quanto fa, da che sono tutti limiti notevoli.

Il secondo invece può essere scritto come

$\lim_{x \to +\infty}\frac{\cos(x)}{x^3(1 - x^2)}$

e ora mi sembra immediato. Se comunque hai problemi e/o mi sono spiegato male chiedi pure.

[saledan]

Ok il primo ora mi torna.
Mentre per il secondo quella era una delle riscritture che avevo provato, solo che non lo vedevo (e non lo continuo a vedere) così immediato
Nel senso tutti i limiti notevoli che ho in una tabella hanno $x->0$ escluso $lim_(x->infty)(1+1/x)^x$ e quindi dovrei applicare una trasfromazione (tipo per esempio $1/x=t$) che per $x->infty => t->0$ e otterrei $lim_(t->0)t^3(cos(1/t))1/(1-1/t^2)$
Oppure non so..inizialmente da $lim_(x->infty)(cosx)/(x^3(1-x^2))$ avevo anche pensato di riscrivere quell'1 con $sen^2x+cos^2x$ ma credo che mi stia solo impantanando.. morale non mi sta risultando così immediato

grazie!

[_Tipper]

Mi sa che così ti impantani. Per $x \to +\infty$ vale $x^3 (1 - x^2) \to -\infty$. Ora

$-\frac{1}{x^3(1 - x^2)} \le \frac{\cos(x)}{x^3(1 - x^2)} \le \frac{1}{x^3(1 - x^2)}$

per ogni $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 0, 1\}$. Dato che

$\lim_{x \to +\infty} -\frac{1}{x^3 (1 - x^2)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^3 (1 - x^2)} = 0$

allora

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\cos(x)}{x^3 (1 - x^2)} = 0$

per via del teorema dei carabinieri.

[gugo82]

"Tipper":Mi sa che così ti impantani. Per $x \to +\infty$ vale $x^3 (1 - x^2) \to -\infty$. Ora

$-\frac{1}{x^3(1 - x^2)} \le \frac{\cos(x)}{x^3(1 - x^2)} \le \frac{1}{x^3(1 - x^2)}$

per ogni $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 0, 1\}$. Dato che

$\lim_{x \to +\infty} -\frac{1}{x^3 (1 - x^2)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^3 (1 - x^2)} = 0$

allora

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\cos(x)}{x^3 (1 - x^2)} = 0$

per via del teorema dei carabinieri.

Beh, Tipper, qui si può addirittura ricorrere all'arcinoto lemma sul prodotto di una funzione limitata per una funzione infinitesima:

$\{(f " è limitata intorno ad " x_0), (lim_(x to x_0) g(x)=0):} quad => quad lim_(x to x_0) f(x)*g(x)=0 quad$

con $x_0=+oo, f(x)=cos x, g(x)=1/(x^3*(1-x^2))$.

[_Tipper]

Quel lemma discende proprio da questa applicazione del th. dei carabinieri. o sbaglio?

[saledan]

mmhhh.. il ragionamento non fa una piega

grazie mille

[gugo82]

"Tipper":Quel lemma discende proprio da questa applicazione del th. dei carabinieri. o sbaglio?

No, si può pure provare direttamente con la definizione di limite.

Detto $M>0$ un maggiorante di $|f|$ intorno ad $x_0$ si ha $|f(x)*g(x)-0|le M*|g(x)|$ intorno ad $x_0$; da qui si conclude ricordando la definizione di limite per $g$ (con $epsilon/(2M)$ per ottenere una maggiorazione più "pulita").