Risoluzione limite trigonometrico
Salve, mi aiutereste a risolvere questo limite?
\( \lim_{n \to 0}\frac{1}{x^2}-\frac{1}{tan^2x} \)
ho tentato in diversi modi ma non riesco a trovare un modo per semplificare il limite fino a poterlo risolvere. Grazie
\( \lim_{n \to 0}\frac{1}{x^2}-\frac{1}{tan^2x} \)
ho tentato in diversi modi ma non riesco a trovare un modo per semplificare il limite fino a poterlo risolvere. Grazie
Risposte
Porta a comun denominatore e usa lo sviluppo di Taylor della tangente al numeratore.
Senza usare Taylor e andamenti asintotici.. Grazie
allora prova ad usere, dopo gli accorgimenti di Seneca la regola di De L'hopital...
A me non viene, probabilmente c'è qualcosa che mi sfugge, se avete qualche idea.. Grazie
Di idee ne hai avute ben due. Segui il consiglio di Noisemaker e posta qui sul forum il procedimento che hai seguito (anche se non viene), calcoli compresi.
$ lim_(x -> 0)\frac(tan^2x-x^2)(tan^2*x^2)=\frac(\frac(1-cos^2x)(cos^2x)-x^2)(\frac(1-cos^2x)(cos^2x)*x^2)=\frac(\frac(1-cos^2x-cos^2*x^2)(cos^2x))(\frac(x^2-cos^2x*x^2)(cos^2x))=$
$\frac(1-cos^2x-cos^2x*x^2)(x^2-cos^2x*x^2)=\frac(2senx*cosx-2senx*cosx-2x*cos^2x)(2x-2cosx*senx)=\frac(0)(0) $
Mi riporta sempre 0 fratto 0, non ho sbattuto qui l'esercizio senza provare a risolverlo. Non sono molto ferrato nella trigonometria e forse è da li che partono i problemi, se volete darmi una mano vi ringrazio.
$\frac(1-cos^2x-cos^2x*x^2)(x^2-cos^2x*x^2)=\frac(2senx*cosx-2senx*cosx-2x*cos^2x)(2x-2cosx*senx)=\frac(0)(0) $
Mi riporta sempre 0 fratto 0, non ho sbattuto qui l'esercizio senza provare a risolverlo. Non sono molto ferrato nella trigonometria e forse è da li che partono i problemi, se volete darmi una mano vi ringrazio.
ricorda che $\tan x=\sin x/\cos x$
\begin{align}
\lim_{x\to0}\frac{\tan^2x-x^2}{x^2\tan^2x}&=\lim_{x\to0}\frac{\frac{\sin^2x}{\cos^2x}-x^2}{x^2\frac{\sin^2x}{\cos^2x}}=\lim_{x\to0} \frac{\sin^2x-x^2\cos^2x}{\cos^2x} \cdot\frac{\cos^2x}{ x^2\sin^2x} \\
&=\lim_{x\to0} \frac{\sin^2x-x^2\cos^2x}{ x^2\sin^2x}
\end{align}
da qui dovresti riuscire
\begin{align}
\lim_{x\to0}\frac{\tan^2x-x^2}{x^2\tan^2x}&=\lim_{x\to0}\frac{\frac{\sin^2x}{\cos^2x}-x^2}{x^2\frac{\sin^2x}{\cos^2x}}=\lim_{x\to0} \frac{\sin^2x-x^2\cos^2x}{\cos^2x} \cdot\frac{\cos^2x}{ x^2\sin^2x} \\
&=\lim_{x\to0} \frac{\sin^2x-x^2\cos^2x}{ x^2\sin^2x}
\end{align}
da qui dovresti riuscire
Si,
$ tan = \frac(senx)(cosx) $
l'ho usato e all'inizio, ho omesso solo il fatto che poi ho utilizzato anche:
$ sen^2x=1-cos^2x $
e praticamente ero gia' dove mi hai portato nel messaggio precedente
$ tan = \frac(senx)(cosx) $
l'ho usato e all'inizio, ho omesso solo il fatto che poi ho utilizzato anche:
$ sen^2x=1-cos^2x $
e praticamente ero gia' dove mi hai portato nel messaggio precedente
si ok mi sono fermato prima perhcè devi applicare De L'hopital ... che è molto lungo
Correggetemi se sbaglio, la prima derivata viene:
$ frac(sen(2x)-2x*cosx*(x*senx-cosx))(2x*senx*(senx+x*cosx))=\frac(0)(0) $
devo andare avanti?
$ frac(2cos2x-(2x^2-1)cos2x+4xsen(2x)-1)((2x^2-1)cos2x+4xsen2x+1)= $
che circa è:
$ frac(2-(1*1)+0-1)((-1*1)+0+1)=frac(0)(0) $
di nuovo...
$ frac(sen(2x)-2x*cosx*(x*senx-cosx))(2x*senx*(senx+x*cosx))=\frac(0)(0) $
devo andare avanti?
$ frac(2cos2x-(2x^2-1)cos2x+4xsen(2x)-1)((2x^2-1)cos2x+4xsen2x+1)= $
che circa è:
$ frac(2-(1*1)+0-1)((-1*1)+0+1)=frac(0)(0) $
di nuovo...
è lunga la strada con de lH.
A questo punto mi vieneil dubbio... ora le derivate le trovo su internet, all'esame non era previsto un consulto informatico e ,questo presentato, era solo meta di uno dei nove esercizi..
se era un esercizio d'esame, non capisco il perchè non hai usato le approssimazioni di Taylor ...
\begin{align} \lim_{x\to0}\frac{\tan^2x-x^2}{x^2\tan^2x}&=\lim_{x\to0}\frac{\frac{\sin^2x}{\cos^2x}-x^2}{x^2\frac{\sin^2x}{\cos^2x}}=\lim_{x\to0} \frac{\sin^2x-x^2\cos^2x}{\cos^2x} \cdot\frac{\cos^2x}{ x^2\sin^2x} \\ &=\lim_{x\to0} \frac{\sin^2x-x^2\cos^2x}{ x^2\sin^2x} \stackrel{\bf(T)}{=}\lim_{x\to0} \frac{\left(x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)\right)^2-x^2\left(1-\frac{x^2}{2}+o(x^3)\right)^2}{ x^4}\\
&=\lim_{x\to0} \frac{ x^2- \frac{x^4}{3 }+o(x^4) -x^2\left(1 +\frac{x^4}{4}-x^2+o(x^4)\right) }{ x^4}\\
&=\lim_{x\to0} \frac{ x^2- \frac{x^4}{3 } -x^2 +x^4+o(x^4) }{ x^4}=\lim_{x\to0} \frac{ \frac{2}{3 }x^4+ o(x^4) }{ x^4}= \frac{2}{3 }\\
\end{align}
\begin{align} \lim_{x\to0}\frac{\tan^2x-x^2}{x^2\tan^2x}&=\lim_{x\to0}\frac{\frac{\sin^2x}{\cos^2x}-x^2}{x^2\frac{\sin^2x}{\cos^2x}}=\lim_{x\to0} \frac{\sin^2x-x^2\cos^2x}{\cos^2x} \cdot\frac{\cos^2x}{ x^2\sin^2x} \\ &=\lim_{x\to0} \frac{\sin^2x-x^2\cos^2x}{ x^2\sin^2x} \stackrel{\bf(T)}{=}\lim_{x\to0} \frac{\left(x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)\right)^2-x^2\left(1-\frac{x^2}{2}+o(x^3)\right)^2}{ x^4}\\
&=\lim_{x\to0} \frac{ x^2- \frac{x^4}{3 }+o(x^4) -x^2\left(1 +\frac{x^4}{4}-x^2+o(x^4)\right) }{ x^4}\\
&=\lim_{x\to0} \frac{ x^2- \frac{x^4}{3 } -x^2 +x^4+o(x^4) }{ x^4}=\lim_{x\to0} \frac{ \frac{2}{3 }x^4+ o(x^4) }{ x^4}= \frac{2}{3 }\\
\end{align}
\( \displaystyle \frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{tan^{2}(x)}=\frac{tan^{2}(x)-x^{2}}{x^{2}tan^{2}(x)}=\left(\frac{x}{tan(x)}\right)^{2}\frac{tan^{2}(x)-x^{2}}{x^{4}}=\left(\frac{x}{tan(x)}\right)^{2}\frac{tan(x)-x}{x^{3}}\frac{tan(x)+x}{x}\)
\( \displaystyle =\frac{tan(x)-x}{x^{3}}\left[\frac{x}{tan(x)}+\left(\frac{x}{tan(x)}\right)^{2}\right]=\)
\( \displaystyle \)
\( \displaystyle \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{tan(x)}{x}=1\) (Limite notevole)
\( \displaystyle \underset{x \rightarrow 0}{\lim}\frac{tan(x)-x}{x^3} \overset{H}{=}\underset{x \rightarrow 0}{\lim}\frac{\frac{1}{cos^2(x)}-1}{3x^2}=\underset{x \rightarrow 0}{\lim}\frac{sen^2(x)}{3x^2 cos^2(x)}=\frac{1}{3}\)
Quindi
\( \displaystyle \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left( \frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{tan^{2}(x)}\right)=\frac{2}{3}\)
\( \displaystyle =\frac{tan(x)-x}{x^{3}}\left[\frac{x}{tan(x)}+\left(\frac{x}{tan(x)}\right)^{2}\right]=\)
\( \displaystyle \)
\( \displaystyle \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{tan(x)}{x}=1\) (Limite notevole)
\( \displaystyle \underset{x \rightarrow 0}{\lim}\frac{tan(x)-x}{x^3} \overset{H}{=}\underset{x \rightarrow 0}{\lim}\frac{\frac{1}{cos^2(x)}-1}{3x^2}=\underset{x \rightarrow 0}{\lim}\frac{sen^2(x)}{3x^2 cos^2(x)}=\frac{1}{3}\)
Quindi
\( \displaystyle \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left( \frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{tan^{2}(x)}\right)=\frac{2}{3}\)
@Noisemaker: perche risolverlo in quella maniera era la richiesta dell'esercizio seguente. Grazie
@totissimus
Grazie, pensavo non ci avrebbe perso tempo nessuno..
2 altre domandine veloci:
1) $ lim_(x -> 0) \frac(tanx)(x)=1 $ non zero, giusto?
2) lo applichi sopra impostando $ \frac(x)(tanx)=1 $ ?
@totissimus
Grazie, pensavo non ci avrebbe perso tempo nessuno..
2 altre domandine veloci:
1) $ lim_(x -> 0) \frac(tanx)(x)=1 $ non zero, giusto?
2) lo applichi sopra impostando $ \frac(x)(tanx)=1 $ ?
Ho corretto la svista.
non capisco però
$ lim_(x -> 0)\frac(sen^2x)(3x^2*cos^2x)=frac(1)(3) $
e, successivamente il passaggio dal quale deduci che tutto riporta $ frac(2)(3) $
Grazie
edit: il primo è $ frac(1)(3)*(frac(senx)(x))^2*frac(1)(cosx) = frac(1)(3)*(1)^2*frac(1)(1) $ giusto?
edit: per il secondo dovevo tornare sopra: $ frac(1)(3)*[1+1] = frac(2)(3) $
$ lim_(x -> 0)\frac(sen^2x)(3x^2*cos^2x)=frac(1)(3) $
e, successivamente il passaggio dal quale deduci che tutto riporta $ frac(2)(3) $
Grazie
edit: il primo è $ frac(1)(3)*(frac(senx)(x))^2*frac(1)(cosx) = frac(1)(3)*(1)^2*frac(1)(1) $ giusto?
edit: per il secondo dovevo tornare sopra: $ frac(1)(3)*[1+1] = frac(2)(3) $
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