Risoluzione limite senza De Hopital

[GigiiAnalisi]

Salve, devo risolvere questo limite senza poter usare De Hopital. Io procede cosi:

$ lim_(x -> 2) (cos(pix)-1)/(x-2)^2 $

Mi porto in t:

$ lim_(t -> 0) (cos(pi(t+2)-1)/t^2) $

$ =>lim_(t -> 0) cos(pit)/t^2 $

A questo punto ho cercato di passare al limite notevole del coseno, moltiplcando e dividendo per $ pi^2 $ e sommando e sottraendo 1.

$ lim_(t to 0) -pi^2[-cos(pit)+1-1]/(pi^2t^2) $

$ => (-pi^2*1/2)+pi^2 =pi^2/2 $


Ho fatto qualche errore? Grazie e buon pomeriggio!

[pilloeffe]

Ciao GigiiAnalisi,

"GigiiAnalisi":Ho fatto qualche errore?

Sì, perché a me risulta come segue:

$ \lim_{x \to 2} (cos(pi x)-1)/(x-2)^2 = - \pi^2/2 $

[GigiiAnalisi]

Ciao, grazie della risposta. Probabilmente la soluzione del professore era sbagliata perchè effettivamente viene come te hai indicato! (Avevo fatto un errore di segno)
Ora però mi è sorta una domanda, quando mi trovo in questa situazione:

$ lim_(t to 0)cos(pit)/t^2 $

Il professore si è riportato in modo da avere il limite notevole, io però avevo pensato di usare gli sviluppi di Taylor.

E mi sarebbe uscito, sviluppando fino al secondo ordine:

$ lim_(t to 0)((1-(pit)^2/2)/t^2) =>1/t^2-pi^2/2 $

Quindi sicuramente c'è qualche errore perchè non torna la soluzione $ -pi^2/2 $
Però non capisco quale.

[@melia]

Non so a che punto della questione riesci ad ottenere $ lim_(t to 0)cos(pit)/t^2 $, perché
$ lim_(x -> 2) (cos(pix)-1)/(x-2)^2 $ diventa $ lim_(t -> 0) (cos(pit)-1)/t^2 $ e se lo spezzi ottieni solo forme indeterminate

[GigiiAnalisi]

"@melia":Non so a che punto della questione riesci ad ottenere $ lim_(t to 0)cos(pit)/t^2 $, perché
$ lim_(x -> 2) (cos(pix)-1)/(x-2)^2 $ diventa $ lim_(t -> 0) (cos(pit)-1)/t^2 $ e se lo spezzi ottieni solo forme indeterminate

$ lim_(x -> 2) (cos(pix)-1)/(x-2)^2 $

$ lim_(t -> 0) (cos(pi(t+2))-1)/t^2 $

Ho sostituito $ t=x-2=>x=t+2 $

Quindi mi resta al Numeratore $ cos(pi t) +cos(2pi)=cos(pit)+1 -1 $

$ =>lim_(t -> 0) cos(pit)/t^2 $

Ma provando a sviluppare fino al secondo ordine:

$ lim_(t to 0)((1-(pit)^2/2)/t^2) =>1/t^2-pi^2/2 $

[pilloeffe]

"GigiiAnalisi":Quindi mi resta al Numeratore $cos(\pi t)+cos(2\pi) = $[...]

Qui ti stai sbagliando: $cos(\pi t + 2\pi) = cos(\pi t) $, quindi dopo la corretta posizione $t := x - 2 $ si ha:

$ \lim_{x \to 2} (cos(pi x)-1)/(x-2)^2 = \lim_{t \to 0} (cos(pi(t+2))-1)/t^2 = \lim_{t \to 0} (cos(pi t)-1)/t^2 =$
$ = - \pi^2 \cdot \lim_{t \to 0} (1 - cos(pi t))/(\pi t)^2 = -\pi^2/2 $

[GigiiAnalisi]

"pilloeffe":[quote="GigiiAnalisi"]Quindi mi resta al Numeratore $cos(\pi t)+cos(2\pi) = $[...]

Qui ti stai sbagliando: $cos(\pi t + 2\pi) = cos(\pi t) $, quindi dopo la corretta posizione $t := x - 2 $ si ha:

$ \lim_{x \to 2} (cos(pi x)-1)/(x-2)^2 = \lim_{t \to 0} (cos(pi(t+2))-1)/t^2 = \lim_{t \to 0} (cos(pi t)-1)/t^2 =$
$ = - \pi^2 \cdot \lim_{t \to 0} (1 - cos(pi t))/(\pi t)^2 = -\pi^2/2 $[/quote]


Ti ringrazio, hai pienamente ragione (ovviamente ) !