Risoluzione limite $ lim_(x->0) [(cosroot (3)(x) -1)(root(3)x -x)]/(Sh(2x)Ch(3x)) $

[hero_vale]

Ciao a tutti

Dovrei risolvere questo limite

$ lim_(x->0) [(cosroot (3)(x) -1)(root(3)x -x)]/(Sh(2x)Ch(3x)) $

Vi dico i passaggi che ho seguito...sarei molto grato se qualcuno potesse vedere che cosa sbaglio

Moltiplico entrambi i termini della frazione per -1 in modo tale da avere il limite notevole a numeratore:

$ lim_(x->0) [(1 - cosroot (3)x)(root(3)x -x)]/-(Sh(2x)Ch(3x) $

Sapendo che il coseno iperbolico tende a uno per x che tende a zero, che la prima parentesi a numeratore è un limite notevole e che nella seconda parentesi devo prendere l'incognita a coefficiente più basso, scrivo

$ lim_(x->0) (root (3) (x^2)/2(root(3)x)]/-(Sh(2x))= lim_(x ->0) (x/2)/(-Sh(2x)) $

Fin qui è giusto? A questo punto io concluderei che il seno iperbolico tende a 0 più velocemente del numeratore, e quindi il limite tende a infinito...secondo Wolfram però tenderebbe a 0.

Dove sbaglio?

Grazie

[Ziben]

Ciao,
io ho fatto così:

[size=150]$(1-cos(root3(x)))/((root3(x))^2)*((root3(x))^2 root3(x)((root3(x))^2-1)) / (2xe^(-2x)((e^(4x)-1)/(4x))ch(3x))$[/size]

e se non ho sbagliato mi sembra che tende a$-1/4$ per $x->0$

confrontiamoci

Edit: osservando bene la tua soluzione, è corretta, solo la conclusione sulla "velocità" di tendenza al limite è sbagliata. Tu scrivi:

$(-x/2)/(sh(2x))$, scrivendo $sh(2x)=(e^(2x)-e^(-2x))/2=e^(-2x)(e^4x-1)/2=2xe^(-2x)(e^4x-1)/(4x)$ si giunge a quello che ho calcolato io. Ti sembra corretto?

[edoardo123451]

Ancora più semplice, $sinhx$ va a zero come x, lo vedi espandendo gli esponenziali al primo termine di Taylor.
Dunque $\frac{x/2}{-Sinh(2x)}$ al limite tende a $\frac{x/2}{-2x}=-1/4$

Devi aver sbagliato a digitare su Wolfram: https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+x-%3E0+(cos(x%5E(1%2F3))-1)(x%5E(1%2F3)-x)%2F(sinh(2x)cosh(3x))