Risoluzione limite inf-inf

[Michele.c93]

Ragazzi per trovare un asintoto devo risolvere questo limite
$ lim x->oo (2x-1)*arctanx-πx $ sapete dirmi come procedo?
Mettendo in evidenza una funzione(ci ho provato ma non riesco ad uscirne)?

[ciampax]

Basta sostituire il limite dell'arcotangente e poi fare i calcoli (si riduce tutto a $-\pi/2$, e ovviamente mi pare di capire che $x\to+\infty$, altrimenti sono rogne..)

[Michele.c93]

si è $ x->+oo $ Se sostituisco il limite dell'arcotangente con $ Pi /2 $ ottengo $ (2x-1)*Pi /2- Pix $ ,semplificando ancora e sostituendo al posto di $ 2x-1 $ mettendo $ 2x $ ottengo $ 2xPi/2 - Pix $ che diventa $ xPi - Pix=0 $
Dove sbaglio?

[ciampax]

Ehm:
$$(2x-1)\cdot\frac{\pi}{2}-\pi x=\pi x-\frac{\pi}{2}-\pi x=-\frac{\pi}{2}$$
Prima le operazioni, poi il limite.

[Michele.c93]

ah capito ecco dove sbagliavo nel calcolare i limiti..comunque a prescindere dal mio errore il risultato non è $ -Pi /2 $ ma $ -2 -Pi /2 $

[ciampax]

Ah già, non m'ero accorto di una cosa facendolo ad occhio. Scriviamo il limite così
$$\lim_{x\to+\infty} [x(2\arctan x-\pi)-\arctan x]=\lim_{x\to+\infty} x(2\arctan x-\pi)-\frac{\pi}{2}$$
Ora, ciò che è rimasto nel limite è una forma indeterminata $0\cdot\infty$: se poniamo $t=\arctan x$ segue $x=\tan t$ e si ha $t\to \pi/2$ per cui
$$\lim_{t\to\pi/2}\tan t\cdot(2t-\pi)-\pi/2$$
Utilizzo l'ulteriore posizione: $y=t-\pi/2$. Così facendo, dal momento che $t=y+\pi/2$ osservo che $y\to 0$ e che
$$\tan t=\tan\left(y+\frac{\pi}{2}\right)=-\cot y=-\frac{1}{\tan y}$$
e quindi
$$\lim_{y\to 0} -\frac{1}{\tan y}\cdot 2y-\frac{\pi}{2}=\lim_{y\to 0} -\frac{2y}{\sin y}\ cdot \cos y-\frac{\pi/2}=-2-\frac{\pi}{2}$$
avendo usato il limite notevole del seno.