Risoluzione limite (forma indeterminata)
Salve ragazzi, ho bisogno di una mano con questo limite:
$ lim_(x -> oo ) (1 / ln(x+3))^(x+2) ((tan(3/x)-(tan(1/x))^3)/tan(1/x)) $
Finora ho capito che $ ln(x+3) -> oo $ quindi $ 1/ln(x+3) -> 0 $ e allora $ (1/ln(x+3))^(x+2) -> 0 $,
inoltre gli argomenti delle tangenti tendono a 0 quindi le tangenti tendono tutte a 0.
In pratica si avrebbe una forma indeterminata 0/0.
A questo punto de L'Hopital non mi è molto utile, pur volendolo utilizzare solo per la parte destra, le derivate sono troppo grandi e non semplificano il limite; e non riesco a riconoscere limiti notevoli.
Qualche idea?
$ lim_(x -> oo ) (1 / ln(x+3))^(x+2) ((tan(3/x)-(tan(1/x))^3)/tan(1/x)) $
Finora ho capito che $ ln(x+3) -> oo $ quindi $ 1/ln(x+3) -> 0 $ e allora $ (1/ln(x+3))^(x+2) -> 0 $,
inoltre gli argomenti delle tangenti tendono a 0 quindi le tangenti tendono tutte a 0.
In pratica si avrebbe una forma indeterminata 0/0.
A questo punto de L'Hopital non mi è molto utile, pur volendolo utilizzare solo per la parte destra, le derivate sono troppo grandi e non semplificano il limite; e non riesco a riconoscere limiti notevoli.
Qualche idea?
Risposte
Devi usare gli sviluppi di Taylor!
Oddio!... THE HORROR! O_o
Maledizione, non li so proprio usare.
Ok allora illuminatemi su una cosa: so calcolare lo sviluppo di Taylor delle funzioni, ma non riesco a capire a che ordine devo fermarmi e perchè...
Maledizione, non li so proprio usare.
Ok allora illuminatemi su una cosa: so calcolare lo sviluppo di Taylor delle funzioni, ma non riesco a capire a che ordine devo fermarmi e perchè...
Lo sviluppo di Taylor è uno strumento potentissimo!Imparalo bene!
comunque come mi ha ripetuto varie volte il mio prof di analisi tu non sai a priori a che ordine ti devi fermare ma è una cosa che impari con il fare esercizi.
Diciamo solo che devi sempre fare in modo di avere di non avere dei "o piccoli" da soli,altrimenti non avrebbe senso..
comunque come mi ha ripetuto varie volte il mio prof di analisi tu non sai a priori a che ordine ti devi fermare ma è una cosa che impari con il fare esercizi.
Diciamo solo che devi sempre fare in modo di avere di non avere dei "o piccoli" da soli,altrimenti non avrebbe senso..
OK, credo di averlo risolto senza Taylor (fortunatamente).
Per chi fosse interessato:
Il limite lo si può vedere come
$ lim_(x -> oo) (1/ln(x+3))^(x+2) [(lim_(x -> oo)tan(3/x)/tan(1/x)) - (lim_(x->oo)tan^2(1/x))] $
Allora il primo limite è 0, come ho spiegato nel primo post.
Il terzo limite è evidentemente 0. Se non ci credete sappiate che $ tan(1/x) $ è asintotico a $ 1/x $ e siccome $1/x -> 0$ allora anche $ tan(1/x) -> 0 $
Il secondo limite si può analizzare in termini asintotici o utilizzando de L'Hopital.
- Se vogliamo analizzarne gli asintoti, sapendo che $ tan(x) $ è asintotico a $ x $, troviamo che $ tan(3/x) / tan(1/x) $ è asintotico a 3 e che quindi il limite vale 3.
- Utilizzando de L'Hopital dovremo risolvere le derivate del numeratore e del denominatore, quindi verrebbe:
$ lim_(x->oo) tan(3/x) / tan(1/x) = lim_(x->oo) -3/(cos^2(3/x) x^2) (cos^2(3/x) x^2) / -1 = 3 $
In conclusione il limite iniziale equivarrebbe a
$ lim_(x->oo) 0 * (3 -0) = 0 $
Per chi fosse interessato:
Il limite lo si può vedere come
$ lim_(x -> oo) (1/ln(x+3))^(x+2) [(lim_(x -> oo)tan(3/x)/tan(1/x)) - (lim_(x->oo)tan^2(1/x))] $
Allora il primo limite è 0, come ho spiegato nel primo post.
Il terzo limite è evidentemente 0. Se non ci credete sappiate che $ tan(1/x) $ è asintotico a $ 1/x $ e siccome $1/x -> 0$ allora anche $ tan(1/x) -> 0 $
Il secondo limite si può analizzare in termini asintotici o utilizzando de L'Hopital.
- Se vogliamo analizzarne gli asintoti, sapendo che $ tan(x) $ è asintotico a $ x $, troviamo che $ tan(3/x) / tan(1/x) $ è asintotico a 3 e che quindi il limite vale 3.
- Utilizzando de L'Hopital dovremo risolvere le derivate del numeratore e del denominatore, quindi verrebbe:
$ lim_(x->oo) tan(3/x) / tan(1/x) = lim_(x->oo) -3/(cos^2(3/x) x^2) (cos^2(3/x) x^2) / -1 = 3 $
In conclusione il limite iniziale equivarrebbe a
$ lim_(x->oo) 0 * (3 -0) = 0 $
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