Risoluzione limite (e quesito su integrale)

[Gianni Trattore]

Salve, sto avendo molti problemi a risolvere questo limite che dovrebbe tendere a 0
$ lim_(x -> 0) arctan(x)log(1+1/(xsqrt(x))) $

Contestualizzando ne approfitto per fare una seconda domanda.
La funzione di sopra l'ho presa da un esercizio sugli integrali dove mi viene chiesto quanto segue.

Sia:

$f(x) = \{ (arctan(x)log(1+1/(xsqrt(x))), ", se " x>0), (0, ", se " x=0):}$

(non so come scrivere la graffa enorme)

E' vero che:
-varie opzioni che considerano f un integrale improprio...
-(quella che dovrebbe essere giusta):f e' Riemann-integrabile su [0,1]

Guardando il grafico della funzione ho visto che il limite e' 0 e quindi a posteriori sono piuttosto sicuro che f sia Riemann-integrabile, tuttavia vorrei sapere se ci potesse essere un ragionamento che non tratti il limite di f(x) per arrivare alla risposta.

[pilloeffe]

Ciao Gianni Trattore,

Le risposte sono entrambe affermative:

$ \lim_{x \to 0} arctan(x)log(1+1/(x\sqrt(x))) = 0 $

Infatti:

$ \lim_{x \to 0} arctan(x)log(1+1/(x\sqrt(x))) = \lim_{x \to 0} arctan(x)[log(1+x\sqrt(x)) - log(x\sqrt(x))] = $
$ = \lim_{x \to 0} arctan(x)log(1+x sqrt(x)) - \lim_{x \to 0} arctan(x) log(x sqrt(x)) = $
$ = \lim_{x \to 0} arctan(x)log(1+x sqrt(x)) - \lim_{x \to 0} log(x sqrt(x))/(1/arctan(x)) $

Non dovresti avere dubbi sul fatto che il primo limite risulti $0$, per cui è sufficiente dimostrare che risulta $0$ anche il secondo, il che si può fare ad esempio con la regola di De l'Hôpital.

"Gianni Trattore":Sia $f(x) = arctan(x)log(1+1/(x\sqrt(x))) $ se $x>0 $
$f(x)=0 $ se $x=0 $ (non so come scrivere la graffa enorme)

Si scrive così:

$f(x) = {(arctan(x)log(1+1/(x\sqrt(x))) \text{ se } x > 0),(0 \text{ se } x = 0):} $

$f(x) = {(arctan(x)log(1+1/(x\sqrt(x)))  \text{ se } x > 0),(0  \text{ se } x = 0):} $

Per $x > 0 $ la funzione $f(x) $ proposta è sempre positiva, e dato che $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ è chiaro che deve esistere almeno un punto di massimo per $x > 0 $; siccome poi per $x = 1 $ si ha $f(1) = pi/4 log(2) $ e $ \AA x > 1 $ si ha $f(x) < f(1) $ ne consegue che tale punto di massimo deve trovarsi proprio nell'intervallo $(0, 1) $ ed in effetti si verifica che è proprio così. Dato che il punto di massimo è $M(x_M, y_M) $ con $x_M \in (0, 1) $ e $y_M < 1 $, ne consegue che si ha:

$\int_0^1 f(x) \text{d}x < 1 $

[Gianni Trattore]

Prima o poi imparerò che i logaritmi di frazioni si possono scomporre in sottrazioni. Grazie mille per l'aiuto!