Risoluzione limite con limiti notevoli
Salve ragazzi. Ho il seguente limite $lim_(x to 0) (sinx-cosx)/(xsinx)$ e vorrei risolverlo con limite notevole. Il risultato l'ho trovato perchè, in difficoltà, l'ho calcolato con l'utilizzo di De L'Hopital: $ lim_(x to 0) (cosx-cosx+xsinx)/(sinx+xcosx)= lim (sinx+cosx)/(cosx+cosx-xsinx)=0 $ ( se i calcoli non sono errati). Adesso, per ricorrere al limite notevole, ho scritto: $lim _ (x to 0) ((sinx-cosx)/x)/sinx=lim ((sinx/x)-cosx/x)/sinx$ soltanto che adesso non so come procedere. pochino quel che ho fatto ma spero in un vostro aiuto. vi ringrazio, alex
un ulteriore passaggio, che però non mi sblocca: $lim (sinx/x+(1-1-cosx)/x)/sinx= lim (sinx/x-1/x+(1-cosx)/x)/sinx$ così ho al tendere di x a 0 al numeratore: la prima frazione che tende a 1, la seconda che tende a -oo e la terza che tende a 0; al denominatore sinx ->0...
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Admin
Limiti
un ulteriore passaggio, che però non mi sblocca: $lim (sinx/x+(1-1-cosx)/x)/sinx= lim (sinx/x-1/x+(1-cosx)/x)/sinx$ così ho al tendere di x a 0 al numeratore: la prima frazione che tende a 1, la seconda che tende a -oo e la terza che tende a 0; al denominatore sinx ->0...
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Admin
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Risposte
il limite puoi riscriverlo come $lim_(x to 0) (sinx-cosx)*sinx/x=lim_(x to 0)(cosx-sinx)*lim_(x to 0) sinx/x$ ed entrambi fanno 1 il primo non è una forma indeterminata il secondo è un limite notevole
edit:forse non ho capito il testo del limite
edit:forse non ho capito il testo del limite
Se il limite è quello che appare è molto semplice : basta che scrivi la funzione di cui devi calcolare il limite come prodotto di (sinx)/x e (sinx-cosx), il primo fattore tende a 1 (per il limite notevole) e il secondo (sinx-cosx) tende a -1 (basta sostiuire), quindi il risultato è -1.
Se invece volevi calcolare il limite di (sinx-cosx)/(xsinx)allora il numeratore tende a -1, il denominatore a zero, quindi il rapporto tende a infinito.
Se invece volevi calcolare il limite di (sinx-cosx)/(xsinx)allora il numeratore tende a -1, il denominatore a zero, quindi il rapporto tende a infinito.
"rubik":
il limite puoi riscriverlo come $lim_(x to 0) (sinx-cosx)*sinx/x=lim_(x to 0)(cosx-sinx)*lim_(x to 0) sinx/x$ ed entrambi fanno 1 il primo non è una forma indeterminata il secondo è un limite notevole
edit:forse non ho capito il testo del limite
Casomai verrebbe $lim_(x to 0) (sinx-cosx)*(sinx/x)^(-1)= (-1)*1= -1
"rubik":
il limite puoi riscriverlo come $lim_(x to 0) (sinx-cosx)*sinx/x=lim_(x to 0)(cosx-sinx)*lim_(x to 0) sinx/x$ ed entrambi fanno 1 il primo non è una forma indeterminata il secondo è un limite notevole
edit:forse non ho capito il testo del limite
Ragazzi...ho controllato il testo e....mi sono scordato una parentesi fondamentale il limite ha come numeratore la differenza sinx-cosx, al denominatore il prodotto x*sinx. scusate.
lo ricopio per evitare equivoci ulteriori: $lim_(x to 0) (sinx-cosx)/(xsinx)$
Se rileggi la mia risposta vedrai che lo avevo supposto, come ti avevo scritto il limite che hai da calcolare è molto semplice: non servono limiti notevoli e non è nemmeno una forma indeterminata. Il numeratore tende a -1 e il denominatore a 0, quindi il rapporto tende a infinito! A volte le cose sono molto piu' semplici di quello che si pensa!
"sylowww":
Se rileggi la mia risposta vedrai che lo avevo supposto, come ti avevo scritto il limite che hai da calcolare è molto semplice: non servono limiti notevoli e non è nemmeno una forma indeterminata. Il numeratore tende a -1 e il denominatore a 0, quindi il rapporto tende a infinito! A volte le cose sono molto piu' semplici di quello che si pensa!
si, hai ragione. ad ogni modo, credo che sia sbagliato il risultato con De L'hopital allora perchè per l'appunto trovo che qui il limite è -oo mentre lì è 0. si vede che oggi non sto proprio bene di testa.
Una delle ipotesi per POTER UTILIZZARE il teorema di de l'Hopital è proprio che il limite si presenti sottoforma indeterminata 0/0 o infinito/infinito. In questo caso non c'è forma indeterminata, quindi il teorema di del l'Hopital NON è applicabile. Di ciò puoi renderti conto anche calcolando per esempio il limite per x che tende a 1 di (x^2+1)/(2x+1): la funzione è continua e il limite quidni vale 2/3, ma se provassi a utilizzare de l'Hopital troveresti come risultato 1!!
"sylowww":
Una delle ipotesi per POTER UTILIZZARE il teorema di de l'Hopital è proprio che il limite si presenti sottoforma indeterminata 0/0 o infinito/infinito. In questo caso non c'è forma indeterminata, quindi il teorema di del l'Hopital NON è applicabile. Di ciò puoi renderti conto anche calcolando per esempio il limite per x che tende a 1 di (x^2+1)/(2x+1): la funzione è continua e il limite quidni vale 2/3, ma se provassi a utilizzare de l'Hopital troveresti come risultato 1!!
la cosa simpatica (?) è che ponevo per x->0 sia sinx che cosx =0....bah....irrecuperabile. certo certo...hai perfettamente ragione. grazie mille. alex
Io l'ho ridotto in questo modo con gli sviluppi di McLaurin
$lim_(x-> 0) (sinx - cosx)/(xsinx)$
$lim_(x-> 0) (x - 1)/x^2$
dunque il risultato dovrebbe essere $-infty$
$lim_(x-> 0) (sinx - cosx)/(xsinx)$
$lim_(x-> 0) (x - 1)/x^2$
dunque il risultato dovrebbe essere $-infty$
"clockover":
Io l'ho ridotto in questo modo con gli sviluppi di McLaurin
$lim_(x-> 0) (sinx - cosx)/(xsinx)$
$lim_(x-> 0) (x - 1)/x^2$
dunque il risultato dovrebbe essere $-infty$
si, ti ringrazio clockover. purtroppo per gli sviluppi di McLaurin trovo difficoltà su quale ordine arrestarmi. Cmq il risultato trovato anche da me è -oo. Grazie a tutti voi per l'aiuto. alex
Si, anche a me viene $-\infty$, perchè possiamo mettere ad esempio senx in evidenza e semplificarlo con il denominatore...
"bad.alex":
[quote="sylowww"]Se rileggi la mia risposta vedrai che lo avevo supposto, come ti avevo scritto il limite che hai da calcolare è molto semplice: non servono limiti notevoli e non è nemmeno una forma indeterminata. Il numeratore tende a -1 e il denominatore a 0, quindi il rapporto tende a infinito! A volte le cose sono molto piu' semplici di quello che si pensa!
si, hai ragione. ad ogni modo, credo che sia sbagliato il risultato con De L'hopital allora perchè per l'appunto trovo che qui il limite è -oo mentre lì è 0. si vede che oggi non sto proprio bene di testa.
[/quote]ricorda le tre ipotesi del De Hospital
!)forma indeterminata ∞/∞ o 0/0..bene,te non ce l'hai..quindi niente applicazione del teorema
"bad.alex":
[quote="clockover"]Io l'ho ridotto in questo modo con gli sviluppi di McLaurin
$lim_(x-> 0) (sinx - cosx)/(xsinx)$
$lim_(x-> 0) (x - 1)/x^2$
dunque il risultato dovrebbe essere $-infty$
si, ti ringrazio clockover. purtroppo per gli sviluppi di McLaurin trovo difficoltà su quale ordine arrestarmi. Cmq il risultato trovato anche da me è -oo. Grazie a tutti voi per l'aiuto. alex[/quote]
ricordati di stare attento agli o piccoli..infatti te al nominatore avresti§(-1+x+o(1))§ e poichè parliamo di infinitesimi,x è più grande di una costante,cioè tende più velocemente a 0 di 1 allora x = o(1);
"parme":
[quote="bad.alex"][quote="clockover"]Io l'ho ridotto in questo modo con gli sviluppi di McLaurin
$lim_(x-> 0) (sinx - cosx)/(xsinx)$
$lim_(x-> 0) (x - 1)/x^2$
dunque il risultato dovrebbe essere $-infty$
si, ti ringrazio clockover. purtroppo per gli sviluppi di McLaurin trovo difficoltà su quale ordine arrestarmi. Cmq il risultato trovato anche da me è -oo. Grazie a tutti voi per l'aiuto. alex[/quote]
ricordati di stare attento agli o piccoli..infatti te al nominatore avresti§(-1+x+o(1))§ e poichè parliamo di infinitesimi,x è più grande di una costante,cioè tende più velocemente a 0 di 1 allora x = o(1);[/quote]
vi ringrazio ancora. Beh...meriterebbe un topic intero la spiegazione degli o piccoli negli sviluppi. Non me l'hanno mai spiegato e sui libri...non sono affrontati se non in via indiretta.
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