Risoluzione Limite Analisi 1
Salve vorrei un aiuto a risolvere questo limite. 
$lim_(x->0^+)(1/x)^(tgx)$
Ho provato a risolverlo con il metodo dei limiti quando hanno una forma indeterminata $\infty^0$ ma non riesco.
Grazie mille in anticipo
$lim_(x->0^+)(1/x)^(tgx)$
Ho provato a risolverlo con il metodo dei limiti quando hanno una forma indeterminata $\infty^0$ ma non riesco.
Grazie mille in anticipo
Risposte
Ciao.
Ti do un suggerimento per farlo con De L'Hopital:
$$(1/x)^{\tan x} = x^{-\tan x}= e^{ \ln ( x^{-\tan x} )}=e^{-\tan x \ln x}$$
Grazie ad un certo teorema possiamo occuparci solo del limite all'esponente e poi elevare e a quel limite.
Quindi viene infinito per zero, e non va bene. Quando viene così possiamo comunque usare L'Hopital (ammesso che le altre ipotesi siano soddisfatte) in questo modo, ad esempio:
$$-\tan x \ln x = \frac{-\tan x}{\frac{1}{\ln x}}$$
che essendo una forma 0/0 è appunto Delhopitalizzabile.
Ce la fai a continuare?
Ti do un suggerimento per farlo con De L'Hopital:
$$(1/x)^{\tan x} = x^{-\tan x}= e^{ \ln ( x^{-\tan x} )}=e^{-\tan x \ln x}$$
Grazie ad un certo teorema possiamo occuparci solo del limite all'esponente e poi elevare e a quel limite.
Quindi viene infinito per zero, e non va bene. Quando viene così possiamo comunque usare L'Hopital (ammesso che le altre ipotesi siano soddisfatte) in questo modo, ad esempio:
$$-\tan x \ln x = \frac{-\tan x}{\frac{1}{\ln x}}$$
che essendo una forma 0/0 è appunto Delhopitalizzabile.
Ce la fai a continuare?
Dato che nell'intorno di $0$ la funzione $tgx$ risulta asintoticamente equivalente alla funzione $x$, si può scrivere il limite nella forma equivalente $lim_(x->0^+)(1/x)^x=lim_(x->0^+)(1/(x^x))$, ed essendo che $lim_(x->0^+)x^x=lim_(x->0^+)e^(xlogx)$, ed essendo ,utilizzando Hopital ,$lim_(x->0^+)(xlogx)=lim_(x->0^+)(logx)/(1/x)=lim_(x->0^+)(1/x)/(-1/(x^2))=lim_(x->0^+)(-x^2/x)=lim_(x->0^+)-x=0$, sostituendo si ha $lim_(x->0^+)x^x=e^0=1$, ed $lim_(x->0^+)(1/(x^x))=1/(lim_(x->0^+)(x^x))=1/(e^0)=1$.
Volendo non usare hopital, si può ricorrere al noto limite $lim_(n->infty)(root(n)(n))=1$, in questo caso, ponendo $x=1/n$, basta scrivere il limite nella forma equivalente $lim_(n->infty)(1/(1/n))^(1/n)=lim_(n->infty)(n)^(1/n)=lim_(n->infty)root(n)(n)=1$
Volendo non usare hopital, si può ricorrere al noto limite $lim_(n->infty)(root(n)(n))=1$, in questo caso, ponendo $x=1/n$, basta scrivere il limite nella forma equivalente $lim_(n->infty)(1/(1/n))^(1/n)=lim_(n->infty)(n)^(1/n)=lim_(n->infty)root(n)(n)=1$
Qualcuno più esperto può controllare cortesemente se le soluzioni che ho postato sono esatte?
Grazie!
Saluti!
Grazie!
Saluti!
francicko io inizialmente volevo svolgerlo come te, usando quel metodo! Però mi era stato chiesto di non usare quel metodo e così ho iniziato a svolgerlo come Raam! Ma facendo De L'Hopital mi ritrovo sempre una forma indeterminata! Quindi conclusione lo svolgerò sempre come francicko! Il risultato è esatto viene 1 quel limite! Grazie mille ad entrambi!
x@marcoopsone.
Scusa non vorrei averti confuso le idee, l'applicazione di Hopital è più che lecita, in quanto vi sono le condizioni, inoltre
porta in ultimo all'eliminazione della forma indeterminata ed al calcolo del limite, dopodichè ho: $lim_(x->0^+)(-x)=0$, e sostituendo $lim_(x->0) 1/(x^x)=1/(e^0)=1$.
Saluti!
Scusa non vorrei averti confuso le idee, l'applicazione di Hopital è più che lecita, in quanto vi sono le condizioni, inoltre
porta in ultimo all'eliminazione della forma indeterminata ed al calcolo del limite, dopodichè ho: $lim_(x->0^+)(-x)=0$, e sostituendo $lim_(x->0) 1/(x^x)=1/(e^0)=1$.
Saluti!
Sisi @francicko ma io dicevo che risolvendolo come @Raam non riesco perché mi trovo sempre una forma indeterminata anche dopo De L'Hopital! Non mi hai confuso le idee non preoccuparti 
anzi sei stato molto chiaro
anzi sei stato molto chiaro
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