Risoluzione limite
Ciao, sono nuovo del forum e mi scuso anticipatamente se non uso ancora il linguaggio corretto
per la scrittura delle formule...
Qualcuno sa come si può risolvere questo limite?? non so da dove partire! Grazie!
lim x--> 0+ [ cos^2(x) - cos(x^2)] / [x^2]
per la scrittura delle formule...
Qualcuno sa come si può risolvere questo limite?? non so da dove partire! Grazie!
lim x--> 0+ [ cos^2(x) - cos(x^2)] / [x^2]
Risposte
Riscrivo il limite: \[\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos^{2} x - \cos (x^{2})}{x^{2}} \]
Al momento non riesco a vedere limiti notevoli, quindi proverei un po' con gli sviluppi asintotici...
\[\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\left(1 - \frac{x^{2}}{2} + o(x^2) \right)^{2} - \left(1 - \frac{x^{4}}{2} + o(x^{4}) \right)}{x^{2}}=\]
\[\displaystyle = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{1-x^{2} + o(x^2) - 1 +o(x^2)}{x^{2}}= \]
\[\displaystyle =\lim_{x \to 0^{+}} \frac{-x^{2} + o(x^{2})}{x^{2}} \]
e da qui dovresti poter concludere.
Spero di solo di non aver sbagliato i conti perché li ho fatti a mente.
Al momento non riesco a vedere limiti notevoli, quindi proverei un po' con gli sviluppi asintotici...
\[\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\left(1 - \frac{x^{2}}{2} + o(x^2) \right)^{2} - \left(1 - \frac{x^{4}}{2} + o(x^{4}) \right)}{x^{2}}=\]
\[\displaystyle = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{1-x^{2} + o(x^2) - 1 +o(x^2)}{x^{2}}= \]
\[\displaystyle =\lim_{x \to 0^{+}} \frac{-x^{2} + o(x^{2})}{x^{2}} \]
e da qui dovresti poter concludere.
Spero di solo di non aver sbagliato i conti perché li ho fatti a mente.
Ciao a tutti. Io ragionerei cosi:
\[\dfrac{\cos^2 x-\cos(x^2)}{x^2}=\dfrac{\cos^2 x+1-\cos(x^2)-1}{x^2}=(\ast)\]
essendo $1-cos(x^2)\sim \frac{1}{2}x^4$ ottengo
\[(\ast)=\dfrac{\cos^2 x+\frac{1}{2}x^4-1}{x^2}=(\ast\ast)\]
esprimo $\cos^2 x$ come $1-\sin^2 x$:
\[(\ast\ast)=\dfrac{1-\sin^2 x+\frac{1}{2}x^4-1}{x^2}=\dfrac{-\sin^2 x+\frac{1}{2}x^4}{x^2}\]
dal momento che $\sin^2 x \sim x^2$ ho infine
\[\dfrac{-x^2+\frac{1}{2}x^4}{x^2}\]
per cui il limite risulta essere $-1$.
Ciao
\[\dfrac{\cos^2 x-\cos(x^2)}{x^2}=\dfrac{\cos^2 x+1-\cos(x^2)-1}{x^2}=(\ast)\]
essendo $1-cos(x^2)\sim \frac{1}{2}x^4$ ottengo
\[(\ast)=\dfrac{\cos^2 x+\frac{1}{2}x^4-1}{x^2}=(\ast\ast)\]
esprimo $\cos^2 x$ come $1-\sin^2 x$:
\[(\ast\ast)=\dfrac{1-\sin^2 x+\frac{1}{2}x^4-1}{x^2}=\dfrac{-\sin^2 x+\frac{1}{2}x^4}{x^2}\]
dal momento che $\sin^2 x \sim x^2$ ho infine
\[\dfrac{-x^2+\frac{1}{2}x^4}{x^2}\]
per cui il limite risulta essere $-1$.
Ciao
Volendo evitare gli sviluppi credo che si potrebbe fare così:
[tex]\lim_{x\rightarrow 0^{+}} \frac{\cos^{2}x-\cos x^{2}}{x^{2}}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{1-\sin^{2}x-\cos x^{2}}{x^{2}}= \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\left ( \frac{1-\cos x^{2}}{x^{4}}x^{2}-\frac{\sin^{2}x}{x^{2}} \right )=\frac{1}{2}\cdot 0-1^{2}=-1[/tex]
con riferimento ai due limiti:[tex]\lim_{t\rightarrow 0} \frac{1-\cos t}{t^{2}}=\frac{1}{2}[/tex] , e [tex]\lim_{t\rightarrow 0} \frac{\sin t}{t}=1[/tex].
[tex]\lim_{x\rightarrow 0^{+}} \frac{\cos^{2}x-\cos x^{2}}{x^{2}}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{1-\sin^{2}x-\cos x^{2}}{x^{2}}= \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\left ( \frac{1-\cos x^{2}}{x^{4}}x^{2}-\frac{\sin^{2}x}{x^{2}} \right )=\frac{1}{2}\cdot 0-1^{2}=-1[/tex]
con riferimento ai due limiti:[tex]\lim_{t\rightarrow 0} \frac{1-\cos t}{t^{2}}=\frac{1}{2}[/tex] , e [tex]\lim_{t\rightarrow 0} \frac{\sin t}{t}=1[/tex].
Grazie mille!! =)
Non era così impossibile come pensavo.
Non era così impossibile come pensavo.
@Alex: Per stavolta è andata, ma sappi che da regolamento qui quando si chiede aiuto per un esercizio si deve sempre allegare un tentativo di soluzione. Ricordatene per le prossime volte, per favore. Lascio due link che ti suggerisco di consultare:
regole-generali-di-matematicamente-it-forum-t26457.html
come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html
Grazie e benvenuto tra noi.
regole-generali-di-matematicamente-it-forum-t26457.html
come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html
Grazie e benvenuto tra noi.
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