Risoluzione Limite

[userina]

Buongiorno!
Potreste aiutarmi con la risoluzione di questo limite? Putroppo con limiti del genere ho sempre avuto difficoltà! Non so se il primo passaggio è un pò ovvio, o si procede con i limiti notevoli. Voi come fareste? Grazie in anticipo =)

$lim_(x -> 0) (xlog(1+3x^2))/(e^(x^3)-1)$

[walter891]

io direi che si possono usare gli asintotici perchè non ci sono somme algebriche, basta sostituire gli sviluppi di $log(1+3x^2)$ e $e^x^3-1$ ottenendo
$lim_(x to 0) (x*3x^2)/(x^3)=lim_(x to 0) 3x^3/x^3$

[*v.tondi]

Propongo un'altra risoluzione utilizzando i limiti notevoli:
$lim_(x->0)(xlog(1+3x^2))/(e^(x^3)-1)$
$lim_(x->0)(xlog(1+3x^2))/(e^(x^3)-1)x^2/x^2$
$lim_(x->0)(3log(1+3x^2))/(3x^2) 1/((e^(x^3)-1)/x^3)$. Adesso puoi applicare due limiti notevoli che dovresti conoscere. Ti sembra più semplice?

[pater46]

"walter89":io direi che si possono usare gli asintotici perchè non ci sono somme algebriche

Correggetemi se sbaglio: i limiti notevoli non sono altro che il risultato delle approssimazioni di mac laurin, dunque non sarebbero applicabili anche nel caso di somme algebriche?

[walter891]

"pater46":[quote="walter89"]io direi che si possono usare gli asintotici perchè non ci sono somme algebriche

Correggetemi se sbaglio: i limiti notevoli non sono altro che il risultato delle approssimazioni di mac laurin, dunque non sarebbero applicabili anche nel caso di somme algebriche? [/quote]
se sono presenti somme algebriche devi usare appunto gli sviluppi di mac laurin arrestati ad un ordine maggiore di 1, invece se ci sono solo prodotti e quozienti puoi usare senza problemi le sostituzioni asintotiche che corrispondono agli sviluppi di ordine 1
I limiti notevoli già dimostrati si possono sempre usare quando si riesce a manipolare opportunamente la funzione

[@melia]

"pater46":Correggetemi se sbaglio: i limiti notevoli non sono altro che il risultato delle approssimazioni di mac laurin

Ti correggo, la maggior parte dei limiti notevoli si ottiene tramite dimostrazioni che non richiedono le derivate, e sono quei limiti usati per il calcolo delle formule di derivazione. Spesso ai limiti notevoli propriamente detti se ne aggiungono anche altri calcolati tramite il teorema dell'Hospital o lo sviluppo in serie, ma che vengono inseriti nella categoria perché sono usati molto spesso e traggono d'impaccio in molte situazioni. La parola notevoli in questo caso significherebbe: "che sarebbe opportuno sapere a memoria".