Risoluzione limite

[Godjackal]

Ciao a tutti
Ho un problema con la risoluzione di un limite, spero mi possiate dare una mano ^^

$ lim_(x -> +oo)$$(arctan(x) - pi/2 )/ (x - sen x)$

Ho provato a ragionarci su a lungo, ma il ricavato sono stati solo un paio di bernoccoli in testa e una parete macchiata di sangue.
Grazie dell'attenzione!
Ciao

[Steven11]

Ciao, prima di tutto ti chiedo: a cosa tende il numeratore? E a cosa il denominatore?

Benvenuto nel forum.

[Godjackal]

Grazie per il benvenuto
Allora il numeratore tende a $ 0 $ mentre il denominatore tende a $+oo$
O caspita allora la funzione è già risolta cosi com'è....
E quindi devo presuppore che il limite tenda a $0$?

[mirko.celentano]

Beh.. 0 diviso qualsiasi numero, sempre 0 fa!

[Godjackal]

Beh.. 0 diviso qualsiasi numero, sempre 0 fa!

In questo caso è un po' diverso in quanto il numeratore tende a 0 ma non sarà mai 0.
E se dividiamo un numero che tende a 0 per un'altro numero che tende a 0 il risultato sarà infinito non 0
Ciao!:)

[Seneca1]

"Mirko909":Beh.. 0 diviso qualsiasi numero, sempre 0 fa!

Prima di tutto è bene chiarire alcuni concetti. Tu non hai a che fare con "un numero"... Il numeratore è una funzione che in un intorno di più infinito assume valori prossimi a $0$.


In secondo luogo, saprai, se si verifica che: $lim_(x -> x_0) f(x) = lim_(x -> x_0) g(x) = 0$ e si vuole calcolare il seguente limite:

$lim_(x -> x_0) (f(x))/(g(x))$

nascono i primi problemi. Infatti non si può dedurre il risultato semplicemente applicando i teoremi sull'algebra dei limiti (limite di un quoziente).

In questo caso non è detto che poichè il numeratore è un infinitesimo per $x -> x_0$ il risultato di quel limite sia $0$.

E se dividiamo un numero che tende a 0 per un'altro numero che tende a 0 il risultato sarà infinito non 0

Godjackal, quanto scrivi tu è quindi sbagliato. Nel caso che stai descrivendo il limite è una forma indeterminata.

Invece il limite che hai proposto inizialmente non è in forma indeterminata $[0/0]$ e si può concludere subito che il risultato è $0$.

[Godjackal]

Grazie Seneca della spiegazione
Concordo pienamente quanto hai detto.
Non mi sono accorto dell'ORRORE commesso nella mia spiegazione, dimenticandomi che stavo parlando di una forma indeterminata.
Grazie del chiarimento, ciao

p.s
Solo una cosa non mi è chiara a questo punto.
La forma indeterminata $0/0$ si ha quando i valori di x annullano sia il numeratore che il denominatore.
Ma nel caso avessi una funzione simile a questa: $ lim_(x -> +oo) $ $ (arctan(x) - pi/2)/(e^-x)
Il numeratore tenderà sempre di più a $0$ cosi come il denominatore, senza però diventare mai $0$.
Quindi è lecito dire che questo limite tende a infinito, o sbaglio qualcosa?
Grazie a tutti, ciao

[Seneca1]

"Godjackal":
Ma nel caso avessi una funzione simile a questa: $ lim_(x -> +oo) $ $ (arctan(x) - pi/2)/(e^-x)
Il numeratore tenderà sempre di più a $0$ cosi come il denominatore, senza però diventare mai $0$.
Quindi è lecito dire che questo limite tende a infinito, o sbaglio qualcosa?

Attenzione. Sia numeratore che denominatore sono funzioni che tendono a $0$ per $x -> +oo$. Quindi quella è una forma indeterminata e non puoi stabilire il risultato a partire solamente dal limite del numeratore e da quello del denominatore.

PS: Concettualmente è scorretto dire che "un limite TENDE A"... Un limite è oppure non è.

[Godjackal]

Ok ora è chiaro, grazie ancora Seneca.
Ciao