Risoluzione limite.

[Maturando]

Ragazzi allo studio di funzione dello scorso appello, ho mandato tutto a belle donne per colpa della non capacità di risolvere un limite, che si è concretizzata con la non determinazione del termine noto dell'asinoto obliquo.

Il limite è il seguente:

$\root(3)(x^3-x^2)-x

Cioè come si razionalizzano forme del genere? Non è possibile razionalizzare semplicemente moltiplicando per l'espressione opposta giusto?

[Auron2]

Scusami ma x a che cosa tende ?

[Maturando]

eh non l'ho messo perché era sottinteso che il termine noto dell'asintoto obliquo si calcola per x che tende a +-infinito...

[ObServer]

Deduco che se parli di determinazione del termine noto dell'asintoto, il limite vada chiaramente a più infinito.

Devi mettere in evidenza l'$x^3$ sotto radice e otterrai

$(x^3(1 - 1/x))^(1/3)$ e dal momento che $1/x$ è un infinitesimo per $x -> + oo$ puoi usare l'approssimazione notevole (con polinomi di Taylor) di:

$(1 + y)^a = 1 + ax + o(x)$

se dovesse servire, aumenta il grado di approssimazione

[panoramix881]

scusate ma questo lim non fa meno infinito??

[Maturando]

dovrebbe uscire 1/3, posso provare a farlo con lo sviluppo di mc laurin, ma dovrebbe esserci anche un altro modo standard credo...

[ObServer]

Lo sviluppo di Mc Laurin è forzatamente centrato in zero, quindi, intendi quello che ho scritto io sopra? Se per metodo standard intendi razionalizzare, non credo sia molto utile: la radice è cubica, e non la elimineresti adoperando nè il cubo di un binomio nè il quadrato.

[ObServer]

va bè, alla fine l'ho svolto col metodo che ti avevo proposto prima.

$root(3)(x^3 - x^2) - x = (x^3(1 - 1/x))^(1/3) - x = x(1 - 1/x)^(1/3) - x$ ~ $x(1 - 1/(3x)) - x = x - x/(3x) -x$

nell'analisi asintotica siamo passati al limite, che, con le dovute semplificazioni, risulterà uguale a $-1/3$. Ho costruito il grafico e torna.

[Maturando]

OK...si si dicevo mc laurin era il metodo che dicevi tu quindi è fattibile così, però penso ci dovrebbe essere anche un'altro modo, senza dover ricorrere alle approssimazioni delle funzioni con gli sviluppi...

[ObServer]

Non so, moltiplicando tutto per $(root(3)(x^3 - x^2) + x)$ / $(root(3)(x^3 - x^2) + x)$ ? è la cosa che più si avvicina alla razionalizzazione, ma credo che non risolva niente in questo caso...