Risoluzione limite
$lim_(x->0)(log^3(1+x)-x^2sen x)/(xsen^3x+cos x -e^(-1/2x^2)$
Salve a tutti! Volevo esercitarmi un po' sui limiti e ho trovato questo... secondo me bisogna risolverlo con le formule di scomposizione delle varie funzioni... però c'è una cosa ke non ho capito... se per esempio ho $log(1+x^3)$ questo, dato ke $log(1+x)=x-x^2/2+...$, lo posso scomporre come $log(1+x^3)=x^3-x^6/3+...$ ... ma se ho $log^3(1+x)$ come si scompone?... la stessa cosa vale per il seno... credo ke non sia la stessa cosa scomporre $sen x^3$ e $sen^3 x$... o sbaglio? Illuminatemi XD
Salve a tutti! Volevo esercitarmi un po' sui limiti e ho trovato questo... secondo me bisogna risolverlo con le formule di scomposizione delle varie funzioni... però c'è una cosa ke non ho capito... se per esempio ho $log(1+x^3)$ questo, dato ke $log(1+x)=x-x^2/2+...$, lo posso scomporre come $log(1+x^3)=x^3-x^6/3+...$ ... ma se ho $log^3(1+x)$ come si scompone?... la stessa cosa vale per il seno... credo ke non sia la stessa cosa scomporre $sen x^3$ e $sen^3 x$... o sbaglio? Illuminatemi XD
Risposte
"TheBestNapoli":
$lim_(x->0)(log^3(1+x)-x^2sen x)/(xsen^3x+cos x -e^(-1/2x^2)$
Salve a tutti! Volevo esercitarmi un po' sui limiti e ho trovato questo... secondo me bisogna risolverlo con le formule di scomposizione delle varie funzioni... però c'è una cosa ke non ho capito... se per esempio ho $log(1+x^3)$ questo, dato ke $log(1+x)=x-x^2/2+...$, lo posso scomporre come $log(1+x^3)=x^3-x^6/3+...$ ... ma se ho $log^3(1+x)$ come si scompone?... la stessa cosa vale per il seno... credo ke non sia la stessa cosa scomporre $sen x^3$ e $sen^3 x$... o sbaglio? Illuminatemi XD
Dovrebbe scriversi esattamente elevando al cubo questo:
$log(1+x)=x-x^2/2+...$
Quindi:
$log^3(1+x)=x^3-x^6/8+...$
Si, dovrebbe essere lo stesso anche per Seno e compagnia bella.
Uso il condizionale perchè lo deduco dalla teoria. Potrei quindi errare.
Allora.. se la potenza è applicata alla funzione devi prima fare la scomposizione e poi elevare il tutto a quella potenza..
Se invece hai che l' argomento è elevato ad una certa potenza, allora fai come hai scritto per il log..
Quindi nel tuò caso. avendo: $log^3(1 + x)$ scriverai $(x - x^2/2...)^3$, sta a te decidere quanto sviluppare in modo da prendere solo la parte più utile del polinomio..
Se invece hai che l' argomento è elevato ad una certa potenza, allora fai come hai scritto per il log..
Quindi nel tuò caso. avendo: $log^3(1 + x)$ scriverai $(x - x^2/2...)^3$, sta a te decidere quanto sviluppare in modo da prendere solo la parte più utile del polinomio..
Quindi seguendo questo ragionamento dovrebbe essere così:
$lim_(x->0)(log^3(1+x)-x^2sen x)/(xsen^3 x+cos x-e^(-1/2x^2))$
$lim_(x->0)((x-x^2/2)^3-x^2(x-x^3/6))/(x(x-x^3/6)^3+1-x^2/2-1-(-1/2x^2))$
$lim_(x->0)(x^3-3/2x^4+3/4x^5-x^6/8-x^3+x^5/6)/(x(x^3-x^5/2+x^10/72-x^9/216)-x^2/2+x^2/2)$
$lim_(x->0)(-x^6/8+11/12x^5-3/4x^4)/(x^4-x^6/2+x^11/72-x^9/216)$ e escludendo i tremini di grado superiore verrebbe
$lim_(x->0)(-3/4x^4)/x^4=-3/4$ è corretto? spero di si
$lim_(x->0)(log^3(1+x)-x^2sen x)/(xsen^3 x+cos x-e^(-1/2x^2))$
$lim_(x->0)((x-x^2/2)^3-x^2(x-x^3/6))/(x(x-x^3/6)^3+1-x^2/2-1-(-1/2x^2))$
$lim_(x->0)(x^3-3/2x^4+3/4x^5-x^6/8-x^3+x^5/6)/(x(x^3-x^5/2+x^10/72-x^9/216)-x^2/2+x^2/2)$
$lim_(x->0)(-x^6/8+11/12x^5-3/4x^4)/(x^4-x^6/2+x^11/72-x^9/216)$ e escludendo i tremini di grado superiore verrebbe
$lim_(x->0)(-3/4x^4)/x^4=-3/4$ è corretto? spero di si
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