Risoluzione limite
Ciao a tutti.
Dovrei risolvere il seguente limite:
$lim_(x -> 1) (log^2 x * cos(pi x))/(sin(pi/2 x) - 1)$
Nota: il logaritmo ha solo "x" come argomento.
Il numeratore nella soluzione viene approssimato con la seguente espressione: $-(x-1)^2$
Mi sapreste dire perchè?
Grazie
Dovrei risolvere il seguente limite:
$lim_(x -> 1) (log^2 x * cos(pi x))/(sin(pi/2 x) - 1)$
Nota: il logaritmo ha solo "x" come argomento.
Il numeratore nella soluzione viene approssimato con la seguente espressione: $-(x-1)^2$
Mi sapreste dire perchè?
Grazie
Risposte
Visto che il testo dell’esercizio è molto semplice, avresti potuto provare ad inserirlo usando i tag per le formule.[nota]Ciò serve a preservare l’integrità del thread, poiché gli host di immagini dopo un po’ di tempo eliminano le foto vecchie ed i thread contenenti immagini risultano illeggibili alla lunga.[/nota]
Stavolta ci ho pensato io, ma tieni presente per le prossime volte.
Seconda cosa, cosa hai provato per risolvere il limite?
Sono calcoli abbastanza standard…
Stavolta ci ho pensato io, ma tieni presente per le prossime volte.
Seconda cosa, cosa hai provato per risolvere il limite?
Sono calcoli abbastanza standard…
Ti ringrazio Gugo. Sono nuovo del forum e non so bene le regole/possibilità di scrittura.
Avendo a disposizione la soluzione non ho provato a risolverlo: mi sono bloccato quando ho visto che il numeratore lo approssimava con -(x-1)^2 e non ne capisco il motivo.
Dopo usando de l'hospital si risolve tranquillamente ma mi manca quel passaggio. Mi puoi aiutare?
Grazie
Avendo a disposizione la soluzione non ho provato a risolverlo: mi sono bloccato quando ho visto che il numeratore lo approssimava con -(x-1)^2 e non ne capisco il motivo.
Dopo usando de l'hospital si risolve tranquillamente ma mi manca quel passaggio. Mi puoi aiutare?
Grazie
Il passaggio è: non leggere la soluzione e fai da solo.
Prima cosa, cerca di ricondurti ai limiti che conosci.
Ne conosci qualcuno con $x -> 1$? Non credo.
Quindi cerca di liberarti di questo inconveniente con un cambiamento di variabile. Poi vedi se non sei in grado di fare da solo.
Prima cosa, cerca di ricondurti ai limiti che conosci.
Ne conosci qualcuno con $x -> 1$? Non credo.
Quindi cerca di liberarti di questo inconveniente con un cambiamento di variabile. Poi vedi se non sei in grado di fare da solo.
Ciao Gugo.
Ho effettuato un cambiamento di variabile ponendo x=y+1 (y ->0 per x ->1).
Sono poi andato a sostituire le funzioni come seno coseno e logaritmo con le loro approssimazioni tramite formula di taylor centrata in zero.
$log(x)$ diventa $log(y+1)=y-(y^2)/2 + o(y^2)$
$cos(pi*x)$ diventa $cos(pi*(y+1))=1-((pi*(y+1))^2)/2 + o(y^2)$
Analogamente per il seno al denominatore.
Dovendo inserire il logaritmo al quadrato elevo al quadrato quanto trovato sopra per il logaritmo ottenendo:
$(log(y+1))^2 = ((2*y-y^2)/2+o(y^2))^2 = 1/4*(4*y^2 -4*y^3 + o(y^3))$
Ho ottenuto $o(y^3)$ dal doppio prodotto e quindi ho eliminato tutti gli addendi dove era presente y con potenza >3.
Ho eseguito la moltiplicazione tra i polinomi di taylor per il logaritmo al quadrato e per il coseno eliminando tutti i fattori con potenze elevate (sempre tenendo conto dell' o piccolo che veniva fuori dal calcolo).
Ho inoltre sostituito anche il seno al denominatore tuttavia mi rimangono sopra le y e il risultato verrebbe infinito invece di 8/pi^2.
Potresti darmi dei consigli o dirmi eventuali errori nella metodologia che ho illustrato?
Altra domanda: per determinare in una moltiplicazione quali sono le potenze da eliminare perchè incluse nell'o piccolo, va bene ragionare come segue?
$((y^2 + y + o(y^2))^2$ in questo caso l' o piccolo è dato dal prodotto tra la potenza inferiore , y e la potenza dentro l' o piccolo , y^2. In questo caso dovrei eliminare tutte gli addendi con potenza maggiore di 3.
E' corretto?
Grazie
Ho effettuato un cambiamento di variabile ponendo x=y+1 (y ->0 per x ->1).
Sono poi andato a sostituire le funzioni come seno coseno e logaritmo con le loro approssimazioni tramite formula di taylor centrata in zero.
$log(x)$ diventa $log(y+1)=y-(y^2)/2 + o(y^2)$
$cos(pi*x)$ diventa $cos(pi*(y+1))=1-((pi*(y+1))^2)/2 + o(y^2)$
Analogamente per il seno al denominatore.
Dovendo inserire il logaritmo al quadrato elevo al quadrato quanto trovato sopra per il logaritmo ottenendo:
$(log(y+1))^2 = ((2*y-y^2)/2+o(y^2))^2 = 1/4*(4*y^2 -4*y^3 + o(y^3))$
Ho ottenuto $o(y^3)$ dal doppio prodotto e quindi ho eliminato tutti gli addendi dove era presente y con potenza >3.
Ho eseguito la moltiplicazione tra i polinomi di taylor per il logaritmo al quadrato e per il coseno eliminando tutti i fattori con potenze elevate (sempre tenendo conto dell' o piccolo che veniva fuori dal calcolo).
Ho inoltre sostituito anche il seno al denominatore tuttavia mi rimangono sopra le y e il risultato verrebbe infinito invece di 8/pi^2.
Potresti darmi dei consigli o dirmi eventuali errori nella metodologia che ho illustrato?
Altra domanda: per determinare in una moltiplicazione quali sono le potenze da eliminare perchè incluse nell'o piccolo, va bene ragionare come segue?
$((y^2 + y + o(y^2))^2$ in questo caso l' o piccolo è dato dal prodotto tra la potenza inferiore , y e la potenza dentro l' o piccolo , y^2. In questo caso dovrei eliminare tutte gli addendi con potenza maggiore di 3.
E' corretto?
Grazie
Ciao ukko90,
Innanzitutto buon 2020 e benvenuto sul forum!
Si ha:
$ \lim_{x \to 1}(log^2 x \cdot cos(\pi x))/(sin(\pi/2 x) - 1) = 8/\pi^2 $
Visto che il limite proposto è piuttosto semplice, eviterei l'uso degli sviluppi in serie o del teorema del marchese de l'Hôpital perché bastano i limiti notevoli con la posizione $y := x - 1 \implies x = y + 1 $ che hai già intuito: prova...
Innanzitutto buon 2020 e benvenuto sul forum!
Si ha:
$ \lim_{x \to 1}(log^2 x \cdot cos(\pi x))/(sin(\pi/2 x) - 1) = 8/\pi^2 $
Visto che il limite proposto è piuttosto semplice, eviterei l'uso degli sviluppi in serie o del teorema del marchese de l'Hôpital perché bastano i limiti notevoli con la posizione $y := x - 1 \implies x = y + 1 $ che hai già intuito: prova...
"ukko90":
Dovrei risolvere il seguente limite:
$lim_(x -> 1) (log^2 x * cos(pi x))/(sin(pi/2 x) - 1)$
Ponendo $y=x-1$ e ricordando le formule degli archi associati si ottiene:
$lim_(x -> 1) (log^2 x * cos(pi x))/(sin(pi/2 x) - 1) = lim_(y -> 0) (log^2(1 + y) * cos(pi y + pi))/(sin(pi/2 y + pi/2) - 1) = lim_(y -> 0) - (log^2(1 + y) * cos(pi y))/(cos(pi/2 y) - 1) = lim_(y -> 0) (log^2(1 + y) * cos(pi y))/(1 - cos(pi/2 y))$
ed usando i limiti notevoli:
$lim_(y -> 0) (log^2(1 + y) * cos(pi y))/(1 - cos(pi/2 y))= lim_(y -> 0) (log^2(1 + y))/y^2 * (1/2 * (pi/2 y)^2)/(1 - cos(pi/2 y)) * (cos(pi y) * y^2)/(1/2 * (pi/2 y)^2) = lim_(y -> 0) (log^2(1 + y))/y^2 * (1/2 * (pi/2 y)^2)/(1 - cos(pi/2 y)) * (8 cos(pi y))/pi^2 = 8/pi^2$.
Se vuoi usare un’approssimazione à la Taylor, osserva che in:
$lim_(y -> 0) (log^2(1 + y) * cos(pi y))/(1 - cos(pi/2 y))$
basta approssimare tutto al primo ordine utile; in particolare:
- [*:6wtlp4oi] $log(1 + y) ~~ y + text(o)(y) => log^2(1+y) ~~ (y + text(o)(y))^2 = y^2 + text(o)(y^2)$
[/*:m:6wtlp4oi]
[*:6wtlp4oi] $cos(pi y) ~~ 1 + text(o)(y)$
[/*:m:6wtlp4oi]
[*:6wtlp4oi] $1 - cos(pi/2 y) ~~ 1/2 (pi/2 y)^2 + text(o)(y^2) = pi^2/8 y^2 + text(o)(y^2)$[/*:m:6wtlp4oi][/list:u:6wtlp4oi]
da cui:
$lim_(y -> 0) (log^2(1 + y) * cos(pi y))/(1 - cos(pi/2 y)) = lim_(y -> 0) (y^2 + text(o)(y^2))/(pi^2/8 y^2 + text(o)(y^2)) = 8/pi^2$.
Per quanto riguarda il resto, sì mi pare che quello che usi sia il metodo giusto.
Ciao. Grazie a tutti per le risposte.
Gugo grazie, con il metodo di taylor tutto chiaro. Per quanto riguarda i limiti notevoli, essendo da tanti anni che non studio analisi, non mi ricordavo di questo strumento.
Un chiarimento riguardo al metodo con i limiti notevoli. Dei tre fattori che ottieni:
Il primo $((log(y+1))^2)/(y^2)$ dovrebbe dare come risultato $1/ln(a)$ dove a è la base del log
Nel secondo credo tu abbia utilizzato l'approssimazione di taylor (per semplificare numeratore con denominatore), corretto?
Nel terzo ci vanno tutti i fattori che hai utilizzato precedentemente più il $cos(pi*y)$
Se per il secondo fattore è come ho scritto sopra (taylor) come si semplificano gli altri fattori ? Potresti per favore esplicitare i passaggi?
Grazie
Gugo grazie, con il metodo di taylor tutto chiaro. Per quanto riguarda i limiti notevoli, essendo da tanti anni che non studio analisi, non mi ricordavo di questo strumento.
Un chiarimento riguardo al metodo con i limiti notevoli. Dei tre fattori che ottieni:
Il primo $((log(y+1))^2)/(y^2)$ dovrebbe dare come risultato $1/ln(a)$ dove a è la base del log
Nel secondo credo tu abbia utilizzato l'approssimazione di taylor (per semplificare numeratore con denominatore), corretto?
Nel terzo ci vanno tutti i fattori che hai utilizzato precedentemente più il $cos(pi*y)$
Se per il secondo fattore è come ho scritto sopra (taylor) come si semplificano gli altri fattori ? Potresti per favore esplicitare i passaggi?
Grazie
Beh, sia gugo82 che io abbiamo interpretato quel $log $ come un logaritmo in base $e$, cioè $log = log_e = ln $, cosa consueta in Analisi matematica. Se invece come mi pare di capire la base del logaritmo era $b = 10$, il limite proposto sarebbe stato il seguente:
$\lim_{x \to 1}(log_{10}^2 x \cdot cos(\pi x))/(sin(\pi/2 x) - 1) = 8/(\pi^2 ln^2(10)) $
Più in generale si ha:
$\lim_{x \to 1}(log_{b}^2 x \cdot cos(\pi x))/(sin(\pi/2 x) - 1) = 8/(\pi^2 ln^2(b)) $
Come ho già avuto occasione di specificare in altri thread, se la base $b$ del logaritmo è diversa da $e $ o da $10 $ deve essere specificata, a meno che non risulti evidente dal contesto. In Analisi matematica poi è comodo ed è consuetudine usare la base $b = e $, quindi è buona norma specificare qual è la base del logaritmo se questa è diversa da $e$, a meno che non risulti evidente dal contesto (cosa che non è nel caso in esame... ).
$\lim_{x \to 1}(log_{10}^2 x \cdot cos(\pi x))/(sin(\pi/2 x) - 1) = 8/(\pi^2 ln^2(10)) $
Più in generale si ha:
$\lim_{x \to 1}(log_{b}^2 x \cdot cos(\pi x))/(sin(\pi/2 x) - 1) = 8/(\pi^2 ln^2(b)) $
Come ho già avuto occasione di specificare in altri thread, se la base $b$ del logaritmo è diversa da $e $ o da $10 $ deve essere specificata, a meno che non risulti evidente dal contesto. In Analisi matematica poi è comodo ed è consuetudine usare la base $b = e $, quindi è buona norma specificare qual è la base del logaritmo se questa è diversa da $e$, a meno che non risulti evidente dal contesto (cosa che non è nel caso in esame...
).
Ciao Pilloeffe.
A giudicare dal risultato credo che l'esercizio preveda il logaritmo naturale (anche se sono abituato a vedere con log il logaritmo in base 10 e con ln il logaritmo naturale).
In ogni caso ho capito.
Vi ringrazio per i suggerimenti!
A giudicare dal risultato credo che l'esercizio preveda il logaritmo naturale (anche se sono abituato a vedere con log il logaritmo in base 10 e con ln il logaritmo naturale).
In ogni caso ho capito.
Vi ringrazio per i suggerimenti!
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