Risoluzione limite
Buonasera, il limite
$ lim_(x -> 2) (x^3-8)/(x-2) $
può essere risolto svolgendo la divisione mediante Ruffini, ottenendo quindi
$ lim_(x -> 2) x^2+2x+4 $
e poi sostituendo.
Ciò che non mi torna/non capisco è come sia possibile che inizialmente la funzione non fosse definita per $ x = 2 $ e dopo sì. Nel senso, la divisione per 0 non esiste ok. Però se quella funzione non esiste in quel punto, la funzione ottenuta mediante Ruffini, che dovrebbe essere la stessa ma semplicemente riscritta in modo diverso, non dovrebbe anch'essa non essere definita in $ x = 2 $ ?
$ lim_(x -> 2) (x^3-8)/(x-2) $
può essere risolto svolgendo la divisione mediante Ruffini, ottenendo quindi
$ lim_(x -> 2) x^2+2x+4 $
e poi sostituendo.
Ciò che non mi torna/non capisco è come sia possibile che inizialmente la funzione non fosse definita per $ x = 2 $ e dopo sì. Nel senso, la divisione per 0 non esiste ok. Però se quella funzione non esiste in quel punto, la funzione ottenuta mediante Ruffini, che dovrebbe essere la stessa ma semplicemente riscritta in modo diverso, non dovrebbe anch'essa non essere definita in $ x = 2 $ ?
Risposte
Infatti nessuno sta dicendo che la funzione sia definita in $2$.
Semplicemente, la funzione $(x^3 - 8)/(x-2)$ coincide intorno a $2$ con la funzione $x^2 + 2x +4$, quindi i limiti per $x->2$ delle due funzioni coincidono; visto che la seconda delle due è continua in $2$, il calcolo del limite si fa per sostituzione.
Semplicemente, la funzione $(x^3 - 8)/(x-2)$ coincide intorno a $2$ con la funzione $x^2 + 2x +4$, quindi i limiti per $x->2$ delle due funzioni coincidono; visto che la seconda delle due è continua in $2$, il calcolo del limite si fa per sostituzione.
Quindi, tralasciando il limite, la funzione $ (x^3-8)/(x-2) $, che non è definita in $ x = 2 $, non coincide con $ x^2+2x+4 $? Perchè?
La domanda è senza senso se non specifichi “dove”.
"gugo82":
La domanda è senza senso se non specifichi “dove”.
Forse ho inteso male lo svolgimento del calcoli o ho delle conoscenze pregresse non esattissime.
Dividere due polinomi dà come risultato un altro polinomio (in questo caso $ x^2+2x+4 $). Questo polinomio rappresenta sempre la frazione iniziale da cui "proviene" oppure solo in alcuni casi (per esempio dopo aver specificato "dove")?
Riformula la domanda, che non si capisce.
Se utilizzo Ruffini per svolgere la divisione $ (x^3-8)/(x-2) $ ottengo $ x^2+2x+4 $. Questi due polinomi rappresentano la "stessa cosa" semplicemente riscritta in modo diverso? Oppure non hanno alcun collegamento tra loro?
Formalmente, cioè se operi nel campo dei quozienti dell’anello $RR[x]$ dei polinomi a coefficienti reali, hai anche ragione, i.e. $(x^3 - 8)/(x-2) = x^2 +2x+4$…
Tuttavia, qui non stai parlando di manipolazioni “formali” di frazioni algebriche o polinomi, ma di manipolazioni “concrete” di funzioni razionali e polinomiali.
Le due funzioni $f(x) := (x^3 - 8)/(x - 2)$ e $g(x) := x^2 + 2x + 4$ coincidono sì, ma unicamente nell’inisieme $text(Dom) f := RR \setminus \{2\}$ (non in tutto $RR$, ovviamente, ed in particolare non in $2$).
Tuttavia, qui non stai parlando di manipolazioni “formali” di frazioni algebriche o polinomi, ma di manipolazioni “concrete” di funzioni razionali e polinomiali.
Le due funzioni $f(x) := (x^3 - 8)/(x - 2)$ e $g(x) := x^2 + 2x + 4$ coincidono sì, ma unicamente nell’inisieme $text(Dom) f := RR \setminus \{2\}$ (non in tutto $RR$, ovviamente, ed in particolare non in $2$).
Penso che i corsi di analisi dovrebbero essere un po' più formali quando danno la definizione di funzione e di dominio. Una funzione da un insieme \(X\) ad un insieme \(Y\) è una relazione su \(X\times Y\) che assegna per ogni elemento di \(x\in X\) un solo elemento \(y\in Y\). Spesso, nei primissimi corsi di analisi matematica, si tende a "rilassare" il primo ogni e comportarsi come se il dominio fosse un sottoinsieme di \(\displaystyle X \) e non \(\displaystyle X \) spesso.
Il punto però è che \(f\colon X\to Y\) e \(f\vert_{S}\colon S\to Y\) non sono la stessa funzione. In altre parole, se scriviamo \(S = \mathbb{R}\setminus\{ 2\}\), risulta \(f = g\vert_S\) mentre \(f\) e \(g\) non sono funzioni confrontabili[nota]Sarebbe più corretto dire che non esiste una relazione di equivalenza canonica \(=\) tra di loro. Infatti, esistono molti esempi di teorie matematiche che confrontano funzioni definite su domini differenti con intersezione non nulla.[/nota] (perché sono relazioni definite su insiemi differenti).
Il punto però è che \(f\colon X\to Y\) e \(f\vert_{S}\colon S\to Y\) non sono la stessa funzione. In altre parole, se scriviamo \(S = \mathbb{R}\setminus\{ 2\}\), risulta \(f = g\vert_S\) mentre \(f\) e \(g\) non sono funzioni confrontabili[nota]Sarebbe più corretto dire che non esiste una relazione di equivalenza canonica \(=\) tra di loro. Infatti, esistono molti esempi di teorie matematiche che confrontano funzioni definite su domini differenti con intersezione non nulla.[/nota] (perché sono relazioni definite su insiemi differenti).
In realtà, vict, credo che il problema sia ancora un altro, cioè che si confonde spesso e volentieri una funzione con l’espressione analitica (o elementare) della sua legge di assegnazione.
Questa cosa è un po’ tardo settecentesca, ma è tollerata perché non produce grandi danni e si può gestire con un po’ di attenzione.
Questa cosa è un po’ tardo settecentesca, ma è tollerata perché non produce grandi danni e si può gestire con un po’ di attenzione.
"gugo82":
Le due funzioni $ f(x) := (x^3 - 8)/(x - 2) $ e $ g(x) := x^2 + 2x + 4 $ coincidono sì, ma unicamente nell’inisieme $ text(Dom) f := RR \setminus \{2\} $ (non in tutto $ RR $, ovviamente, ed in particolare non in $ 2 $).
Erroneamente facevo un parallelismo con le tradizionali divisioni. Il mio ragionamento era "se la funzione $ f(x) $ fosse come $ 8/4 $ e la funzione $ g(x) $ fosse $ 2 $ allora dovrebbero essere la stessa cosa". Adesso ho capito l'errore (grossolano e stupido).
"vict85":
Penso che i corsi di analisi dovrebbero essere un po' più formali quando danno la definizione di funzione e di dominio. Una funzione da un insieme \( X \) ad un insieme \( Y \) è una relazione su \( X\times Y \) che assegna per ogni elemento di \( x\in X \) un solo elemento \( y\in Y \). Spesso, nei primissimi corsi di analisi matematica, si tende a "rilassare" il primo ogni e comportarsi come se il dominio fosse un sottoinsieme di \( \displaystyle X \) e non \( \displaystyle X \) spesso.
Il punto però è che \( f\colon X\to Y \) e \( f\vert_{S}\colon S\to Y \) non sono la stessa funzione. In altre parole, se scriviamo \( S = \mathbb{R}\setminus\{ 2\} \), risulta \( f = g\vert_S \) mentre \( f \) e \( g \) non sono funzioni confrontabili (perché sono relazioni definite su insiemi differenti).
Nel nostro corso non c'è tempo per "rispiegare" ciò che è stato fatto (o dovrebbe essere stato fatto) negli scorsi anni alle superiori e quindi lo danno per scontato. Tra questi argomenti c'è anche la definizione di funzione. Avendo fatto tutto da solo non avevo notato/mi ero posto il problema che due funzioni non sono confrontabili se definite su insiemi differenti.
Il tuo errore, in realtà, non è né grossolano né stupido; anzi, mette in evidenza le grosse differenze che ci sono tra l’Algebra e l’Analisi.
Ho modificato un po’ la risposta precedente: dacci uno sguardo.
Ho modificato un po’ la risposta precedente: dacci uno sguardo.
"gugo82":
In realtà, vict, credo che il problema sia ancora un altro, cioè che si confonde spesso e volentieri una funzione con l’espressione analitica (o elementare) della sua legge di assegnazione.
Questa cosa è un po’ tardo settecentesca, ma è tollerata perché non produce grandi danni e si può gestire con un po’ di attenzione.
Sì, certo.
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