Risoluzione limite
Ho dei dubbi riguardo la risoluzione di questo limite utilizzando solo ed esclusivamente limiti notevoli (niente sviluppi di taylor, niente De L'Hôpital).
$\lim_{h\to 0}\frac{(1+h/x)^h -1}{h}$
Il risultato dovrebbe essere zero. A me viene in mente di utilizzare il seguente limite notevole:
$\lim_{h\to 0}\frac{a^h -1}{h} \to ln(a)$ con $a>0$
Però nel mio limite è presente la base dell'esponenziale che non è costante ma dipendente da h. Qualcuno sa qualche cavillo per arrivare alla soluzione?
$\lim_{h\to 0}\frac{(1+h/x)^h -1}{h}$
Il risultato dovrebbe essere zero. A me viene in mente di utilizzare il seguente limite notevole:
$\lim_{h\to 0}\frac{a^h -1}{h} \to ln(a)$ con $a>0$
Però nel mio limite è presente la base dell'esponenziale che non è costante ma dipendente da h. Qualcuno sa qualche cavillo per arrivare alla soluzione?
Risposte
Alla fine mi sono risposto da solo. Bisogna agire così:
$\lim_{h\to 0}frac{(1+h/x)^h-1}{h} \to frac{e^{hln(1+h/x) }-1}{h} \to [frac{(e^{hln(1+h/x) }-1)}{h•ln(1+h/x)}]•ln(1+h/x)$
Ora si sfrutta il seguente limite notevole $\lim_{f(h) \to 0} frac{e^{f(h)}-1}{f(h)} \to 1$ e trovo che
$\lim_{h \to 0}[frac{(e^{hln(1+h/x) }-1)}{h•ln(1+h/x)}]•ln(1+h/x) \to 1•0 =0$
$\lim_{h\to 0}frac{(1+h/x)^h-1}{h} \to frac{e^{hln(1+h/x) }-1}{h} \to [frac{(e^{hln(1+h/x) }-1)}{h•ln(1+h/x)}]•ln(1+h/x)$
Ora si sfrutta il seguente limite notevole $\lim_{f(h) \to 0} frac{e^{f(h)}-1}{f(h)} \to 1$ e trovo che
$\lim_{h \to 0}[frac{(e^{hln(1+h/x) }-1)}{h•ln(1+h/x)}]•ln(1+h/x) \to 1•0 =0$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo