Risoluzione limite
Salve, sono uno studente di ingegneria e mi ritrovo a dover svolgere una prova ad itinere fra pochi giorni e mi trovo nel caos 
Sono incappato in questo esercizio e penso di aver sbagliato qualche passaggio poichè non mi riesce il risultato (che dovrebbe essere 0)
$ lim_(x -> oo ) [xln(1/(x+1))+xlnx+1] $
tentando di risolverla ho diviso il limite in due parti ottenendo :
$ lim_(x -> oo ) xln(1/(x+1))+ lim_(x->oo)xlnx+1 $
fatto questo ho cercato di vedere se esistono dei limiti notevoli e ho pensato di compiere questo passaggio
$ lim_(x -> oo ) ln(1-x/(x+1))^x+ lim_(x->oo)xlnx+1 $
ottenendo così
$ lim_(x -> oo )e^x+ lim_(x->oo)xlnx+1 $
da qui in poi, ammesso che sia corretto, non so più come procedere... un aiuto?
Grazie in anticipo.
Sono incappato in questo esercizio e penso di aver sbagliato qualche passaggio poichè non mi riesce il risultato (che dovrebbe essere 0)
$ lim_(x -> oo ) [xln(1/(x+1))+xlnx+1] $
tentando di risolverla ho diviso il limite in due parti ottenendo :
$ lim_(x -> oo ) xln(1/(x+1))+ lim_(x->oo)xlnx+1 $
fatto questo ho cercato di vedere se esistono dei limiti notevoli e ho pensato di compiere questo passaggio
$ lim_(x -> oo ) ln(1-x/(x+1))^x+ lim_(x->oo)xlnx+1 $
ottenendo così
$ lim_(x -> oo )e^x+ lim_(x->oo)xlnx+1 $
da qui in poi, ammesso che sia corretto, non so più come procedere... un aiuto?
Grazie in anticipo.
Risposte
Ciao vicko98,
Raccogliendo $x$ ed applicando le proprietà dei logaritmi si ha:
$ lim_{x \to infty}[xln(1/(x+1))+xlnx+1] = lim_{x \to infty}[x(ln(1/(x+1))+lnx)+1] = $
$ = lim_{x \to infty}[x ln(x/(x+1))+1] = lim_{x \to infty}[x ln(1 - 1/(x+1))+1] = $
$ = lim_{x \to infty} - frac{x}{x + 1} frac{ln(1 - 1/(x+1))}{-1/(x+1)} + 1 = - lim_{x \to infty} frac{x}{x + 1} \cdot lim_{x \to infty}frac{ln(1 - 1/(x+1))}{-1/(x+1)} + 1 = $
$ = - 1 \cdot 1 + 1 = 0 $
Raccogliendo $x$ ed applicando le proprietà dei logaritmi si ha:
$ lim_{x \to infty}[xln(1/(x+1))+xlnx+1] = lim_{x \to infty}[x(ln(1/(x+1))+lnx)+1] = $
$ = lim_{x \to infty}[x ln(x/(x+1))+1] = lim_{x \to infty}[x ln(1 - 1/(x+1))+1] = $
$ = lim_{x \to infty} - frac{x}{x + 1} frac{ln(1 - 1/(x+1))}{-1/(x+1)} + 1 = - lim_{x \to infty} frac{x}{x + 1} \cdot lim_{x \to infty}frac{ln(1 - 1/(x+1))}{-1/(x+1)} + 1 = $
$ = - 1 \cdot 1 + 1 = 0 $
Un appunto per @vicko98
Puoi ‘staccare’ il limite di una somma di funzioni nella somma dei limiti se i limiti delle due funzioni che consideri esistono e non danno vita a forme indeterminate.
Puoi ‘staccare’ il limite di una somma di funzioni nella somma dei limiti se i limiti delle due funzioni che consideri esistono e non danno vita a forme indeterminate.
Ora capisco...
per @piloeffe
Non ho capito come arriviamo a questo punto
$ = lim_{x \to infty} - frac{x}{x + 1} frac{ln(1 - 1/(x+1))}{-1/(x+1)} + 1 $
Potresti spiegarmelo? Grazie.
per @piloeffe
Non ho capito come arriviamo a questo punto
$ = lim_{x \to infty} - frac{x}{x + 1} frac{ln(1 - 1/(x+1))}{-1/(x+1)} + 1 $
Potresti spiegarmelo? Grazie.
"vicko98":
Potresti spiegarmelo?
Certamente...
Basta dividere per il secondo termine dell'argomento del logaritmo, cioè per $frac{-1}{x + 1} $, e poi naturalmente moltiplicare per la stessa quantità; poi, osservando che davanti al logaritmo c'è una $x$, diventa $ x \cdot frac{-1}{x + 1} = - frac{x}{x + 1}$
Se provi a semplificare puoi verificare facilmente che ritorni al passaggio precedente.
Tutto quanto sopra al fine di poter sfruttare il limite notevole seguente:
$lim_{f(x) \to 0} frac{ln(1 + f(x))}{f(x)} = 1 $
ove, nel caso in esame, $f(x) := - frac{1}{x + 1}$
"pilloeffe":
[quote="vicko98"]Potresti spiegarmelo?
Certamente...
Basta dividere per il secondo termine dell'argomento del logaritmo, cioè per $frac{-1}{x + 1} $, e poi naturalmente moltiplicare per la stessa quantità; poi, osservando che davanti al logaritmo c'è una $x$, diventa $ x \cdot frac{-1}{x + 1} = - frac{x}{x + 1}$
Se provi a semplificare puoi verificare facilmente che ritorni al passaggio precedente.
Tutto quanto sopra al fine di poter sfruttare il limite notevole seguente:
$lim_{f(x) \to 0} frac{ln(1 + f(x))}{f(x)} = 1 $
ove, nel caso in esame, $f(x) := - frac{1}{x + 1}$[/quote]
Ora capisco, ottenendo il limite notevole...ma come mai il $+1$ non è soggetto alla moltiplicazione e divisione per $ -1/(x+1)$?
Scusami per le troppe domande
"vicko98":
ma come mai il $+1$ non è soggetto alla moltiplicazione e divisione per $−frac{1}{x+1} $?
Beh, perché non serve: $1$ è una costante ed è stata proprio portata fuori dall'operazione di passaggio al limite alla quale non è interessata...
Ora ho capito, ti ringrazio!
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