Risoluzione limite
Mi aiutate a risolvere questo limite?
$\lim_{x \to 0}(x^2-(sin(x))^2)/(x^2(sin(x))^2)$
$\lim_{x \to 0}(x^2-(sin(x))^2)/(x^2(sin(x))^2)$
Risposte
Sviluppa con Taylor $sen(x)$ in un intorno di $0$.
Prima di sviluppare, ti consiglio di riscriverti il limite come:
$$\lim_{x \to 0} \frac{x+ \sin x}{x} \frac{x - \sin x}{x \sin^2 x} = 2 \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x \sin^2 x}= 2\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$$
dove, nell'ultimo passaggio ho utilizzato il fatto che $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x^2}=1$. A questo punto è abbastanza elementare.
$$\lim_{x \to 0} \frac{x+ \sin x}{x} \frac{x - \sin x}{x \sin^2 x} = 2 \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x \sin^2 x}= 2\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$$
dove, nell'ultimo passaggio ho utilizzato il fatto che $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x^2}=1$. A questo punto è abbastanza elementare.
"feddy":
Sviluppa con Taylor $sen(x)$ in un intorno di $0$.
benissimo, mi confermate che abbia sviluppato correttamente la funzione $(sin(x))^2$ con i primi due termini di Taylor?
$sin(x)=x-x^3/(3!)+o(x^3)$ -> $(sin(x))^2=(x-x^3/(3!)+o(x^3))^2$=$x^2-1/3x^4+1/36x^6+o(x^6)$
$frac(x^2-(x^2-1/3x^4+1/36x^6+o(x^6)))(x^2(x^2-1/3x^4+1/36x^6+o(x^6)))=1/3$
Se si, il limite mi torna $1/3$ ma non capisco perché mi torna $0$ se invece prendessi un solo termine di Taylor:
$sin(x)=x+o(x)$ -> $(sin(x))^2=x^2+o(x^2)$
$frac(x^2-x^2+o(x^2)) (x^2(x^2 +o(x^2))$=$(0+o(x^2))/(x^2+o(x^4))=0$
Mi chiedo in questo esempio specifico quale sia la logica che mi fa capire il numero di termini corretti da considerare perché a mio avviso sarebbero corretti entrambi i risultati
Non puoi rimanere solo con l'o piccolo al numeratore, se capita vuol dire che ti sei fermato troppo presto con il grado del polinomio..
@zio_mangrovia: se segui il mio suggerimento, non serve impelagarsi con il quadrato. Prima di sviluppare tutto quello che è sviluppabile in un limite, ti conviene sempre prima vedere se puoi semplificare l'espressione.
In ogni caso, quando hai un quadrato, non serve scrivere tutti i termini del quadrato del trinomio, quadrinomio ecc. Basta che i termini sopra un certo ordine li inglobi nell'o-piccolo.
Per quanto riguarda la tua domanda, se sviluppi al primo ordine non ti viene $0$ perché al denominatore hai $x^4$ (c'è un errore di conto) e quindi non puoi concludere niente su $\frac{o(x^2)}{x^4}$.
In ogni caso, quando hai un quadrato, non serve scrivere tutti i termini del quadrato del trinomio, quadrinomio ecc. Basta che i termini sopra un certo ordine li inglobi nell'o-piccolo.
Per quanto riguarda la tua domanda, se sviluppi al primo ordine non ti viene $0$ perché al denominatore hai $x^4$ (c'è un errore di conto) e quindi non puoi concludere niente su $\frac{o(x^2)}{x^4}$.
"Antimius":
Prima di sviluppare, ti consiglio di riscriverti il limite come:
$$\lim_{x \to 0} \frac{x+ \sin x}{x} \frac{x - \sin x}{x \sin^2 x} = 2 \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x \sin^2 x}= 2\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$$
dove, nell'ultimo passaggio ho utilizzato il fatto che $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x^2}=1$. A questo punto è abbastanza elementare.
Il passaggio indicato come elementare, partendo da $2\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$, lo si completa applicando più volte Hopital, corretto?
Correggete la mia affermazione da "profano" ma mi sembrava di aver capito che i valori dei limiti dovessero essere calcolati in un unico passaggio, ma nel nostro caso abbiamo prima calcolato il valore del $\lim_{x \to 0} \frac{x+ \sin x}{x}$ (che è $2$) e poi proseguito con l'Hopital. E' possibile proseguire e calcolare e trascrivere i valori dei limiti che si incontrano a mano a mano senza concludere in un unico passaggio?
Grazie
"Anacleto13":
Non puoi rimanere solo con l'o piccolo al numeratore, se capita vuol dire che ti sei fermato troppo presto con il grado del polinomio..
Dovrei trovarmi nella condizione di avere sempre $o$ piccolo sia a numeratore che a denominatore? Ma sempre dello stesso ordine? Oppure posso essere anche diversi?
"Antimius":
@zio_mangrovia: se segui il mio suggerimento, non serve impelagarsi con il quadrato. Prima di sviluppare tutto quello che è sviluppabile in un limite, ti conviene sempre prima vedere se puoi semplificare l'espressione.
Avevo visto il tuo suggerimento troppo tardi ma ottimo direi!
Per quanto riguarda la tua domanda, se sviluppi al primo ordine non ti viene $0$ perché al denominatore hai $x^4$ (c'è un errore di conto) e quindi non puoi concludere niente su $\frac{o(x^2)}{x^4}$.
mi chiedo perché non sia possibile concludere ma forse dovrei approfondire la teoria.
Documenti ed esercizi in merito, avete dei link per favore?
Per il primo messaggio: intendevo comunque usare lo svilluppo ma a quel punto è molto più facile e non serve fare troppi conti 
Comunque, puoi anche applicare una volta De l'Hopital e poi utilizzare il limite notevole $\frac{1 - \cos x}{x^2} \to \frac{1}{2}$.
Per il secondo messaggio: non puoi concludere niente perché sai soltanto che $o(x^2)$ va a $0$ "più velocemente di $x^2$, ma potrebbe essere come $x^3$, come $x^{\pi}$, come $x^3\log x$ come $x^{3/2}$, come $x^5$. Non sapendo questo, non hai modo di calcolare quel limite.
Per quanto riguarda gli esercizi, ci sono vari eserciziari molto noti in giro, come il Marcellini-Sbordone o il Giusti. Sinceramente non mi vengono in mente dei siti da cui pescare esercizi, ma sicuramente la rete sarà piena di esercizi sui limiti se provi a cercare!
Comunque, puoi anche applicare una volta De l'Hopital e poi utilizzare il limite notevole $\frac{1 - \cos x}{x^2} \to \frac{1}{2}$.Per il secondo messaggio: non puoi concludere niente perché sai soltanto che $o(x^2)$ va a $0$ "più velocemente di $x^2$, ma potrebbe essere come $x^3$, come $x^{\pi}$, come $x^3\log x$ come $x^{3/2}$, come $x^5$. Non sapendo questo, non hai modo di calcolare quel limite.
Per quanto riguarda gli esercizi, ci sono vari eserciziari molto noti in giro, come il Marcellini-Sbordone o il Giusti. Sinceramente non mi vengono in mente dei siti da cui pescare esercizi, ma sicuramente la rete sarà piena di esercizi sui limiti se provi a cercare!
Chiarezza di esposizione e direi ottima conoscenza dei concetti sono i tuoi punti forti, sto rispolverando tutto ciò dopo molti anni e non sto frequentando lezioni universitarie per cui non è così semplice.
Un ultimo dubbio, supponendo di complicarmi la vita e applicando De l'Hopital:
il calcolo dei limiti credevo lo si potesse fare in un unico passaggio, ma nel nostro caso abbiamo prima calcolato il valore del $\lim_{x \to 0} \frac{x+ \sin x}{x}$ (che è $2$) e poi proseguito con l'Hopital.
E' possibile calcolare e trascrivere i valori dei limiti che si incontrano a mano a mano senza concludere in un unico passaggio?
Se avessi usato Taylor invece, prima avrei dovuto calcolare parte del limite (il 2 tanto per capirci) e poi sostituire $sen(x)$ con il polinomio di Taylor, tutto ciò in passaggi diversi e sequenziali. E' possibile pertanto?
Di nuovo grazie.
Un ultimo dubbio, supponendo di complicarmi la vita e applicando De l'Hopital:
il calcolo dei limiti credevo lo si potesse fare in un unico passaggio, ma nel nostro caso abbiamo prima calcolato il valore del $\lim_{x \to 0} \frac{x+ \sin x}{x}$ (che è $2$) e poi proseguito con l'Hopital.
E' possibile calcolare e trascrivere i valori dei limiti che si incontrano a mano a mano senza concludere in un unico passaggio?
Se avessi usato Taylor invece, prima avrei dovuto calcolare parte del limite (il 2 tanto per capirci) e poi sostituire $sen(x)$ con il polinomio di Taylor, tutto ciò in passaggi diversi e sequenziali. E' possibile pertanto?
Di nuovo grazie.
Sì, puoi farlo usando l'algebra dei limiti. Ad esempio è vero che $$\lim_{x \to x_0} f(x)+g(x) = \lim_{x \to x_0} f(x) + \lim_{x \to x_0} g(x)$$ purché tu non abbia una forma indeterminata. Lo stesso vale per il prodotto.
Quindi se un limite è diverso da $0$ o $\infty$ sei sicuro che, comunque sommerai o moltiplicherai l'altro limite non ti produrrà una forma indeterminata e, quindi, puoi effettivamente trattarlo a parte e usare l'algebra dei limiti per "toglierlo di mezzo".
Ad esempio, $$\lim_{x \to 0} \frac{2+x}{x^2} = 2 \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty$$
perché il numeratore ha limite $2$.
E' [size=150]falso[/size] invece il seguente limite:
$$\lim_{x \to 0} \frac{x}{x^2} = 0 \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = 0$$
Dove sta l'errore? Ho separato il primo limite, dicendo che $0 \cdot l = 0$ ma questo è vero solo se $l \ne \infty$ e quindi devo prima controllare quanto viene il secondo limite!
Nel primo caso invece, anche senza controllare il secondo limite, posso procedere moltiplicando per $2$ perché so che sicuramente non avrò una forma indeterminata.
In definitiva, i limiti seguono le normali regole delle addizioni e moltiplicazioni tra numeri reali e le seguenti regole aggiuntive quando almeno uno dei due elementi è $+\infty$ o $-\infty$, cioè sulla retta reale estesa. Sia $a \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}$, allora:
\begin{equation}
\begin{split}
a \cdot (\pm \infty) = \pm \infty, \, a > 0 \\
a \cdot (\pm \infty) = \mp \infty, \, a < 0 \\
a + \infty = +\infty, \, a \ne - \infty \\
a - \infty = -\infty, \, a \ne + \infty \\
\frac{a}{\pm \infty} = 0, \, a \ne \pm \infty \\
\frac{\pm \infty}{a} = \pm \infty, \, a \in (0, +\infty) \\
\frac{\pm \infty}{a} = \mp \infty, \, a \in (-\infty, 0)
\end{split}
\end{equation}
Osserva che $a$ può essere anche $\pm \infty$.
Come vedi, funziona tutto bene, purché tu non abbia[nota]Osserva che non nomino la forma indeterminata $\frac{0}{0}$,
ma semplicemente per il fatto che la divisione per $0$ non è definita nemmeno sulla retta reale estesa, in quanto $\frac{a}{0}$ potrebbe essere $+\infty$ o $-\infty$.[/nota] $\infty - \infty$, $\frac{\infty}{\infty}$ o $0 \cdot infty$. In tal caso, non puoi dire nulla sul risultato e quindi non puoi spezzare i limiti ma devi trovare un'altra strategia.
Quindi se un limite è diverso da $0$ o $\infty$ sei sicuro che, comunque sommerai o moltiplicherai l'altro limite non ti produrrà una forma indeterminata e, quindi, puoi effettivamente trattarlo a parte e usare l'algebra dei limiti per "toglierlo di mezzo".
Ad esempio, $$\lim_{x \to 0} \frac{2+x}{x^2} = 2 \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty$$
perché il numeratore ha limite $2$.
E' [size=150]falso[/size] invece il seguente limite:
$$\lim_{x \to 0} \frac{x}{x^2} = 0 \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = 0$$
Dove sta l'errore? Ho separato il primo limite, dicendo che $0 \cdot l = 0$ ma questo è vero solo se $l \ne \infty$ e quindi devo prima controllare quanto viene il secondo limite!
Nel primo caso invece, anche senza controllare il secondo limite, posso procedere moltiplicando per $2$ perché so che sicuramente non avrò una forma indeterminata.
In definitiva, i limiti seguono le normali regole delle addizioni e moltiplicazioni tra numeri reali e le seguenti regole aggiuntive quando almeno uno dei due elementi è $+\infty$ o $-\infty$, cioè sulla retta reale estesa. Sia $a \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}$, allora:
\begin{equation}
\begin{split}
a \cdot (\pm \infty) = \pm \infty, \, a > 0 \\
a \cdot (\pm \infty) = \mp \infty, \, a < 0 \\
a + \infty = +\infty, \, a \ne - \infty \\
a - \infty = -\infty, \, a \ne + \infty \\
\frac{a}{\pm \infty} = 0, \, a \ne \pm \infty \\
\frac{\pm \infty}{a} = \pm \infty, \, a \in (0, +\infty) \\
\frac{\pm \infty}{a} = \mp \infty, \, a \in (-\infty, 0)
\end{split}
\end{equation}
Osserva che $a$ può essere anche $\pm \infty$.
Come vedi, funziona tutto bene, purché tu non abbia[nota]Osserva che non nomino la forma indeterminata $\frac{0}{0}$,
ma semplicemente per il fatto che la divisione per $0$ non è definita nemmeno sulla retta reale estesa, in quanto $\frac{a}{0}$ potrebbe essere $+\infty$ o $-\infty$.[/nota] $\infty - \infty$, $\frac{\infty}{\infty}$ o $0 \cdot infty$. In tal caso, non puoi dire nulla sul risultato e quindi non puoi spezzare i limiti ma devi trovare un'altra strategia.
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