Risoluzione limite
$ lim_(x -> -oo ) xe^(-x $
Buonasera. Ho provato a risolvere questo limite applicando de l'hopital scrivendo il prodotto di cui devo calcolare il limite in modo opportuno. Il risultato a cui pervengo è 0 ma analizzando il grafico (sto facendo uno studio di funzione ed in particolare sto analizzando gli asintoti orizzontali) tramite un calcolatore ho notato che non esiste y=0 asintoto verticale per $ x -> -oo $ . Ho provato a individuare l'errore senza successo. Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Buonasera. Ho provato a risolvere questo limite applicando de l'hopital scrivendo il prodotto di cui devo calcolare il limite in modo opportuno. Il risultato a cui pervengo è 0 ma analizzando il grafico (sto facendo uno studio di funzione ed in particolare sto analizzando gli asintoti orizzontali) tramite un calcolatore ho notato che non esiste y=0 asintoto verticale per $ x -> -oo $ . Ho provato a individuare l'errore senza successo. Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Risposte
Utilizzando la trasformazione \(\displaystyle x = -e^{\ln (-x)} \) (nota che questa vale per \(\displaystyle x<0 \)) si ricava
\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} xe^{-x} = \lim_{x \to -\infty} -e^{\ln (-x)}e^{-x} = \lim_{x \to -\infty} -e^{\ln (-x) - x} = -e^{\lim_{x \to -\infty} \ln (-x) - x} = -e^{\lim_{x \to +\infty} \ln (x) + x} = -\infty\)
Comunque \(\displaystyle -\infty\cdot \infty \) non è una forma indeterminata.
\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} xe^{-x} = \lim_{x \to -\infty} -e^{\ln (-x)}e^{-x} = \lim_{x \to -\infty} -e^{\ln (-x) - x} = -e^{\lim_{x \to -\infty} \ln (-x) - x} = -e^{\lim_{x \to +\infty} \ln (x) + x} = -\infty\)
Comunque \(\displaystyle -\infty\cdot \infty \) non è una forma indeterminata.
Ho sbagliato ho messo un meno di troppo che sciocco! Il limite tende a +infinito. Comunque ti ringrazio perché mi sei stato lo stesso molto utile! 
O, ancora più rapidamente, con gli ordini di infinito.
"Andrea57":
O, ancora più rapidamente, con gli ordini di infinito.
Potresti farmi un esempio?
Credo si riferisca alla seguente:
Scrivi \(\displaystyle xe^{-x} \) come \(\displaystyle e^{lnx - x} \) e si vede chiaramente che ln x è un infinitp di ordine inferiore (quindi x è un ordine di infinito superiore) Infatti se fai \(\displaystyle \lim_{\rightarrow -\propto \)} di \(\displaystyle \frac{x}{lnx} \),vedrai che tale limite tende a zero, e quindi x è un ordine di infinito superiore.
In realta,io scriverei il limite come \(\displaystyle \frac{x}{e^x} \),che semplifica notevolmente la trattazione!
Scrivi \(\displaystyle xe^{-x} \) come \(\displaystyle e^{lnx - x} \) e si vede chiaramente che ln x è un infinitp di ordine inferiore (quindi x è un ordine di infinito superiore) Infatti se fai \(\displaystyle \lim_{\rightarrow -\propto \)} di \(\displaystyle \frac{x}{lnx} \),vedrai che tale limite tende a zero, e quindi x è un ordine di infinito superiore.
In realta,io scriverei il limite come \(\displaystyle \frac{x}{e^x} \),che semplifica notevolmente la trattazione!
"Nicocata":
[quote="Andrea57"]O, ancora più rapidamente, con gli ordini di infinito.
Potresti farmi un esempio?[/quote]
$x*e^(-x)$ Secondo gli ordini di infinito, gli esponenziali vanno ad infinito più velocemente di qualunque potenza, quindi a vincere è $e^(-x)$, e puoi escludere la $x$
Adesso sostituisci $+oo$ ad $e^(-x)$ ed hai il risultato.
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