Risoluzione integrali per parti
Ciao ragazzi,
mi sto esercitando nella risoluzione degli integrali per parti, ma non riesco a concludere gli esercizi. Nel senso, ho imparato ad applicare la formula quindi l'esercizio lo so impostare (già è tanto
), ma poi non so come finire, negli esercizi svolti della professoressa dà la conclusione sempre per scontata, ma scontata non è... 
Per esempio, ho questo integrale: $int_(0)^(1)log(1+x^2)dx$
Operando il procedimento di integrazione per parti ottengo:
$int_(0)^(1)log(1+x^2)dx = [xlog(1+x^2)]_(0)^(1) - 2 int_(0)^(1)x^2/(1+x^2)dx$
A questo punto, la prima parte tra parentesi quadre devo valutarla con $x=1$ e $x=0$ e poi sottrarre tra di loro i risultati, secondo il "Teorema fondamentale del calcolo integrale" per gli integrali definiti.
Quindi ottengo $log2-2int_(0)^(1)x^2/(1+x^2)dx$.
E ora?! Che ci faccio con l'integrale rimasto?!
L'esercizio svolto dalla prof. continua così... $log2-2int_(0)^(1)(1-1/(1+x^2))dx = log2-2[x]_(0)^(1)+2[arctan(x)]_(0)^(1) = log2-2+pi/2$
Mi spiegate gli ultimi passaggi per favore? Non riesco quasi mai a concludere gli integrali, credo proprio che mi perdo qualcosa... Grazie mille!!
mi sto esercitando nella risoluzione degli integrali per parti, ma non riesco a concludere gli esercizi. Nel senso, ho imparato ad applicare la formula quindi l'esercizio lo so impostare (già è tanto
), ma poi non so come finire, negli esercizi svolti della professoressa dà la conclusione sempre per scontata, ma scontata non è... Per esempio, ho questo integrale: $int_(0)^(1)log(1+x^2)dx$
Operando il procedimento di integrazione per parti ottengo:
$int_(0)^(1)log(1+x^2)dx = [xlog(1+x^2)]_(0)^(1) - 2 int_(0)^(1)x^2/(1+x^2)dx$
A questo punto, la prima parte tra parentesi quadre devo valutarla con $x=1$ e $x=0$ e poi sottrarre tra di loro i risultati, secondo il "Teorema fondamentale del calcolo integrale" per gli integrali definiti.
Quindi ottengo $log2-2int_(0)^(1)x^2/(1+x^2)dx$.
E ora?! Che ci faccio con l'integrale rimasto?!
L'esercizio svolto dalla prof. continua così... $log2-2int_(0)^(1)(1-1/(1+x^2))dx = log2-2[x]_(0)^(1)+2[arctan(x)]_(0)^(1) = log2-2+pi/2$
Mi spiegate gli ultimi passaggi per favore? Non riesco quasi mai a concludere gli integrali, credo proprio che mi perdo qualcosa...
Grazie mille!!
Risposte
la tua professoressa è ricorsa ad un trucco algebrico per risolvere il secondo integrale: ha aggiunto e tolto 1 al numeratore e ha poi spezzato l'integrale in due. a questo punto ha risolto i due integrali fondamentali e ha calcolato l'integrale definito come hai fatto tu prima 
Mmmmm, un pezzettino l'ho capito, che $arctan(x)$ esce fuori dall'integrale notevole $int 1/(1+x^2)$. Giustissimo, non ci pensavo
Ma come si fa a "spezzare l'integrale in due"? Dici di fare $int_(0)^(1)(x^2+1-1)/(1+x^2)$, tanto aggiungere $+1-1$ non è un problema perchè si annullano, ma poi?
Ma come si fa a "spezzare l'integrale in due"? Dici di fare $int_(0)^(1)(x^2+1-1)/(1+x^2)$, tanto aggiungere $+1-1$ non è un problema perchè si annullano, ma poi?
Ma poi ... $int_(0)^(1)(x^2+1-1)/(1+x^2) = int_(0)^(1)[(x^2+1)/(1+x^2)-1/(1+x^2)] = int_(0)^(1)[1-1/(1+x^2)] $
che a sua volta diventa $ int_(0)^(1) dx - int_(0)^(1) 1/(1+x^2) dx $
Iiiiiih, che scema a non averci pensato!! Quasi mi vergogno ahahah.
Grazie mille, ora credo di aver capito!!!
Grazie mille, ora credo di aver capito!!!
"Francesca.S":
Ma come si fa a "spezzare l'integrale in due"?
Grazie anche a te, @anto_zoolander, ora che me l'hai postata conoscevo la regola ma, come al solito quando mi approccio ad una nuova tipologia di esercizi, non collego le cose
Posso chiedervi un'aiutino su questo nuovo esercizio, sempre di integrale per parti?
Sto facendo progressi (sembra), ma mi manca un pezzettino per capire tutto l'esercizio svolto: immagino che sia un altro trucco algebrico, come quello che mi avete fatto notare prima.
Senza che vi posto tutto l'esercizio, che ho capito, sono arrivata a questo punto:
$int_(2)^(3)x^2/(x-1)$, che viene "magicamente" trasformato dalla prof in $int_(2)^(3)x+1+1/(x-1)$ (dicitura che fa comodo visto il resto dell'esercizio). Ma come diavolo fa?!
Posso chiedervi un'aiutino su questo nuovo esercizio, sempre di integrale per parti?
Sto facendo progressi (sembra), ma mi manca un pezzettino per capire tutto l'esercizio svolto: immagino che sia un altro trucco algebrico, come quello che mi avete fatto notare prima.
Senza che vi posto tutto l'esercizio, che ho capito, sono arrivata a questo punto:
$int_(2)^(3)x^2/(x-1)$, che viene "magicamente" trasformato dalla prof in $int_(2)^(3)x+1+1/(x-1)$ (dicitura che fa comodo visto il resto dell'esercizio). Ma come diavolo fa?!
Divisione fra polinomi (con resto ...)
$x^2/(x-1)$
Potresti o fare esplicitamente la divisione euclidea tra polinomi. Oppure noti questo:
$(x((x+1)-1))/(x-1)$
Nota che è del tutto equivalente a quella precedente, difatti
$x^2=x*x=x(x+1-1)=x((x-1)+1)=x(x-1)+x$ considerando che è diviso per $x-1$
$x+x/(x-1)$ ora basta aggiungere e togliere $1$ a numeratore
$x+(x-1)/(x-1)+1/(x-1)=x+1+1/(x-1)$
Potresti o fare esplicitamente la divisione euclidea tra polinomi. Oppure noti questo:
$(x((x+1)-1))/(x-1)$
Nota che è del tutto equivalente a quella precedente, difatti
$x^2=x*x=x(x+1-1)=x((x-1)+1)=x(x-1)+x$ considerando che è diviso per $x-1$
$x+x/(x-1)$ ora basta aggiungere e togliere $1$ a numeratore
$x+(x-1)/(x-1)+1/(x-1)=x+1+1/(x-1)$
Ok, grazie mille!! Capito il tuo ragionamento, @anto_zoolander, faccio progressi
La divisione tra polinomi non l'avevo mai sentita nominare, ora me la studio un po'...
all'esame spero di avere fortuna che non mi esca fuori niente di nuovo!!
La divisione tra polinomi non l'avevo mai sentita nominare, ora me la studio un po'...
all'esame spero di avere fortuna che non mi esca fuori niente di nuovo!!
"Francesca.S":
La divisione tra polinomi non l'avevo mai sentita nominare, ...
??? Really? Mai sentito nominare neanche "Ruffini"?
Ruffini sì, alle scuole superiori, ma non mi è mai piaciuto
Ma adesso con l'università ho studiato (e sto studiando) da zero tutto da sola, quindi capita spesso che salto involontariamente qualcosa... prima o poi esce fuori, come in questo caso
Ma adesso con l'università ho studiato (e sto studiando) da zero tutto da sola, quindi capita spesso che salto involontariamente qualcosa... prima o poi esce fuori, come in questo caso
Se vuoi sopravvivere devi imparare la divisione tra polinomi. Negli integrali va spesso di moda 
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