Risoluzione integrali particolari
Ciao ragazzi ho un piccolo dubbio riguardo alla risoluzione degli integrali indefiniti del tipo:
$ int(sqrt(a^2-x^2)) dx $
Come da regola li risolvo con la sostituzione $ x=asint $ e procede tutto bene; l'unico problema è alla fine cioè quando devo tornare alla variabile x.
Il risultato deve essere del tipo:
$ ( 1/2a^2arcsen(x/a)+1/2x(sqrt(a^2-x^2))+c) $
Io non riesco a capire come fare per ottenere $ 1/2x(sqrt(a^2-x^2)) $, la x risulta dal prodotto di una funzione e dalla sua inversa e qui ok, ma la radice da dove esce fuori?
Spero di essermi spiegato bene, sono qui per eventuali chiarimenti.
GRAZIE 1000
$ int(sqrt(a^2-x^2)) dx $
Come da regola li risolvo con la sostituzione $ x=asint $ e procede tutto bene; l'unico problema è alla fine cioè quando devo tornare alla variabile x.
Il risultato deve essere del tipo:
$ ( 1/2a^2arcsen(x/a)+1/2x(sqrt(a^2-x^2))+c) $
Io non riesco a capire come fare per ottenere $ 1/2x(sqrt(a^2-x^2)) $, la x risulta dal prodotto di una funzione e dalla sua inversa e qui ok, ma la radice da dove esce fuori?
Spero di essermi spiegato bene, sono qui per eventuali chiarimenti.
GRAZIE 1000
Risposte
Prova a svolgerlo postando qui i conti e vediamo da dove esce.
Allora faccio l'esempio di questo integrale, ma vale per tutti gli integrali dello stesso tipo, cioè $int (sqrt(a^2-x^2)) dx $
Risolvere il seguente integrale: $int (sqrt(4-x^2)) dx$.
La regola dice di impostare $x=a*sint$, quindi nel nostro caso abbiamo: $x=2*sint$, a seguire $dx=2*cost*dt$ e $t=arcsin(x/2)$.
Ora sostituiamo la x e il differenziale trovati nell'integrale di partenza: $int (sqrt(4-4*sin^2t)*2cost)dt$.
Dopo alcuni passaggi di messa in evidenza del 4 e di trasformazione usando la Prima Relazione Fondamentale della Trigonometria, otteniamo: $4int (cost*cost)dt=4int (cost^2t)dt$.
Ora applichiamo la formula di duplicazione e otteniao: $2int(1+cos2t)dt$.
Il risultato di questo integrale è: $2t+sen2t+c$, ma $sen2t=2sent*cost$, quindi $2t+sen2t+c=2t+2sent*cost+c$.
Ora si dovrebbe tornare alla variabile x, e quindi:
$2arsen(x/2)+2sen*(arcsen(x/2))*cos*(arsen(x/2))$.
Questo è il punto in cui sono arrivato, non riescoa capire il passaggio successivo che porta al risultato finale che c'è sul libro e chè è: $2arsen(x/2)+1/2*x*sqrt(4-x^2)+c$
GRAZIE
Risolvere il seguente integrale: $int (sqrt(4-x^2)) dx$.
La regola dice di impostare $x=a*sint$, quindi nel nostro caso abbiamo: $x=2*sint$, a seguire $dx=2*cost*dt$ e $t=arcsin(x/2)$.
Ora sostituiamo la x e il differenziale trovati nell'integrale di partenza: $int (sqrt(4-4*sin^2t)*2cost)dt$.
Dopo alcuni passaggi di messa in evidenza del 4 e di trasformazione usando la Prima Relazione Fondamentale della Trigonometria, otteniamo: $4int (cost*cost)dt=4int (cost^2t)dt$.
Ora applichiamo la formula di duplicazione e otteniao: $2int(1+cos2t)dt$.
Il risultato di questo integrale è: $2t+sen2t+c$, ma $sen2t=2sent*cost$, quindi $2t+sen2t+c=2t+2sent*cost+c$.
Ora si dovrebbe tornare alla variabile x, e quindi:
$2arsen(x/2)+2sen*(arcsen(x/2))*cos*(arsen(x/2))$.
Questo è il punto in cui sono arrivato, non riescoa capire il passaggio successivo che porta al risultato finale che c'è sul libro e chè è: $2arsen(x/2)+1/2*x*sqrt(4-x^2)+c$
GRAZIE
Ti ricordo che:
[tex]\sin(\arcsin x)=x[/tex]
essendo [tex]f(f^{-1}(x))=x[/tex], e che
[tex]\cos x=\sqrt{1-\sin^2x}[/tex]
Quindi...
[tex]\sin(\arcsin x)=x[/tex]
essendo [tex]f(f^{-1}(x))=x[/tex], e che
[tex]\cos x=\sqrt{1-\sin^2x}[/tex]
Quindi...
Lomax ci sono su questo, ma ........ 
TI ho scritto tutto....
[tex]2\sin(\arcsin(\frac{x}{2}))=2\frac{x}{2}=x[/tex]
[tex]\cos(\arcsin(\frac{x}{2}))=\sqrt{1-\sin^2(\arcsin(\frac{x}{2}))}=\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}[/tex]
[tex]2\sin(\arcsin(\frac{x}{2}))=2\frac{x}{2}=x[/tex]
[tex]\cos(\arcsin(\frac{x}{2}))=\sqrt{1-\sin^2(\arcsin(\frac{x}{2}))}=\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}[/tex]
Grazie Lomax, grazie 1000... 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo