Risoluzione integrali indefiniti

[Sectioaurea]

Salve a tutti , sono nuova qui ma ho già fatto la mia presentazione ho bisogno di un aiuto! Non riesco a risolvere questi benedetti integrali. Ho dimenticato un po' di cose delle superiori mi scuso in anticipo per come li scriverò perché non ho praticamente mai usato il LaTeX. Gli integrali sono:

$ \int \ sqrt {\frac{x-1}{x+1}} dx $

$ \int \frac{1+\cosx}{(1-\cosx)(2+\cos^2x)} *\senx dx $

$ \int \cosx\senx \ sqrt {\frac{\sen^2x-1}{\sen^2x+1}} dx $

Grazie a chi mi risponderà!

[Sectioaurea]

"TeM":Ciao Fra27, innanzitutto ben iscritta.

Dunque, per quanto riguarda il primo integrale opterei per una sostituzione del tipo \(t = \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}\), per il secondo ti
consiglierei una sostituzione del tipo \(u = \cos x\), mentre per il terzo direi che risulti conveniente una sostituzione
del tipo \(v = \sin^2 x + 1\).

Ciao TeM, grazie per l'aiuto! Sto risolvendo questi integrali con le sostituzioni che mi hai consigliato ma sto avendo qualche difficoltà soprattutto con il secondo ed il terzo. Potresti risolvermene uno dei due ?Puoi saltare i calcoli della prima sostituzione se ti è più comodo.

[Sectioaurea]

"TeM":Cerco di mostrarti i passaggi salienti in tutti e tre gli integrali proposti:
\[
\begin{aligned}

& \int \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}\,dx = \int t\,d\left(- \frac{t^2 + 1}{t^2 - 1}\right) = \int \frac{4t^2}{\left(t^2 - 1\right)^2}dt = \dots \; ; \\

& \int \frac{1 + \cos x}{(1 - \cos x)\left(2 + \cos^2 x\right)}\sin x\,dx = \int \frac{u + 1}{(u - 1)\left(u^2 + 2\right)}du = \dots \; ; \\

& \int \sqrt{\frac{\sin^2 x - 1}{\sin^2 x + 1}}\,\sin x\,\cos x\,dx = \frac{1}{2}\int \sqrt{\frac{v - 2}{v}}dv = \frac{1}{2}\int z\,d\left(- \frac{2}{z^2 - 1}\right) = \int \frac{2z^2}{\left(z^2 - 1\right)^2}dz = \dots \; .

\end{aligned}[quote="Fra27"][quote="TeM"]Ciao Fra27, innanzitutto ben iscritta.

Dunque, per quanto riguarda il primo integrale opterei per una sostituzione del tipo \( t = \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} \), per il secondo ti
consiglierei una sostituzione del tipo \( u = \cos x \), mentre per il terzo direi che risulti conveniente una sostituzione
del tipo \( v = \sin^2 x + 1 \).

Ciao TeM, grazie per l'aiuto! Sto risolvendo questi integrali con le sostituzioni che mi hai consigliato ma sto avendo qualche difficoltà soprattutto con il secondo ed il terzo. Potresti risolvermene uno dei due ?Puoi saltare i calcoli della prima sostituzione se ti è più comodo. [/quote]
\] A questo punto non rimane che scomporre in fratti semplici e concludere.
Nota bene: il primo e il terzo integrale sono essenzialmente uguali!! [/quote]

Nell'ultimo passaggio del terzo integrale come devo svolgere la scomposizione? Perché $ (z^2-1)^2 $ si può scomporre in $ (z+1)^2 (z-1)^2 $ e quindi la scomposizione sarebbe
$ \frac {A}{z+1}+ \frac {Bx+C}{(z+1)^2}+ \frac {D}{z-1} +\frac {Ex+F}{(z-1)^2} $ e secondo me è troppo articolato

[axpgn]

... Perché $ (z^2-1)^2 $ si può scomporre in $ (z^2-1) (z^2+1)$ ...

???

[Sectioaurea]

"axpgn":

... Perché $ (z^2-1)^2 $ si può scomporre in $ (z^2-1) (z^2+1)$ ...

???

Ho sbagliato a scrivere.. Adesso credo di aver scritto correttamente

[axpgn]

Non credo dato che avevi proseguito con l'altra scomposizione ...
Comunque la scomposizione in fratti semplici è quella, articolata o meno ...

[Sectioaurea]

Va bene, grazie.. Mentre per quest 'integrale :

$ \int \frac {1+x^2}{(x+1)(x^2 +2)^2} $

Io l'ho risolto in questo modo:

$ \int \frac {2+x^2}{(x+1)(x^2+2)^2} -\frac{1}{(x+1)(x^2+2)^2}$

Risolvo la prima parte ed è ok. Quando arrivo alla seconda ho qualche problema. Anche in questo caso devo usare il metodo di sostituzione?