Risoluzione integrali impropri
Salve ragazzi, sono nuovo del forum, ho bisogno di aiuto nel risolvere il seguente esercizio:
Mostrare che g(x) = cos^2 1/x non è integrabile in [1, +infinito)
Da quello che so bisogna risolvere l integrale improprio(detto anche integrale generalizzato) utilizzando la formula TFCI ovvero G(infinito)-G(1) dove G è una primitiva di g. Detto ció, non riesco a trovare una primitiva di g=cos^2 1/x
Qualcuno sa risolvere? Grazie anticipatamente.
Mostrare che g(x) = cos^2 1/x non è integrabile in [1, +infinito)
Da quello che so bisogna risolvere l integrale improprio(detto anche integrale generalizzato) utilizzando la formula TFCI ovvero G(infinito)-G(1) dove G è una primitiva di g. Detto ció, non riesco a trovare una primitiva di g=cos^2 1/x
Qualcuno sa risolvere? Grazie anticipatamente.
Risposte
Allora, prima di tutto fà come dice tommik, impara assolutamente ad usare l'editor di funzioni o qui avrai vita breve e parecchi insulti, te lo garantisco 
Secondo, quello che dici è sostanzialmente corretto ma va un rifinito. L'integrale generalizzato di questo caso è definito come $int_{1}^{+infty} g(x) dx = lim_(b->+infty) int_{1}^{b} g(x)dx$. Quindi, meccanicamente, si va a verificare che g ammetta primitiva e nel caso la si calcola, chiamiamola G, dopodiché si verifica se esista finito $lim_(b->+infty) G(b)$, nel qual caso si torna a quello che hai detto tu e si applica il TFCI, cosa che altrimenti non avrebbe senso.
Qui però non ce n'è bisogno: infatti un caro teoremino per gli integrali impropri afferma che, affinchè $int_{1}^{+infty} g(x) dx$ converga (ovvero abbia un valore finito), deve accadere che $lim_(x->+infty) g(x) = 0$, cosa che qui palesemente non avviene visto che si continua ad oscillare all'infinito tra 0 ed 1. Quindi l'integrale non converge, ergo hai concluso quello che volevi.
Attento, quella che ho scritto è una condizione necessaria alla convergenza, ma non sufficiente: se si fosse verificata non avremmo potuto concludere nulla. Per fortuna non è così
Secondo, quello che dici è sostanzialmente corretto ma va un rifinito. L'integrale generalizzato di questo caso è definito come $int_{1}^{+infty} g(x) dx = lim_(b->+infty) int_{1}^{b} g(x)dx$. Quindi, meccanicamente, si va a verificare che g ammetta primitiva e nel caso la si calcola, chiamiamola G, dopodiché si verifica se esista finito $lim_(b->+infty) G(b)$, nel qual caso si torna a quello che hai detto tu e si applica il TFCI, cosa che altrimenti non avrebbe senso.
Qui però non ce n'è bisogno: infatti un caro teoremino per gli integrali impropri afferma che, affinchè $int_{1}^{+infty} g(x) dx$ converga (ovvero abbia un valore finito), deve accadere che $lim_(x->+infty) g(x) = 0$, cosa che qui palesemente non avviene visto che si continua ad oscillare all'infinito tra 0 ed 1. Quindi l'integrale non converge, ergo hai concluso quello che volevi.
Attento, quella che ho scritto è una condizione necessaria alla convergenza, ma non sufficiente: se si fosse verificata non avremmo potuto concludere nulla. Per fortuna non è così
Grazie mille 
Ps: dove trovo l editor delle funzioni da te citato? Forse nella versione mobile del sito non esce?!
Ps: dove trovo l editor delle funzioni da te citato? Forse nella versione mobile del sito non esce?!
Risolto, ho trovato la guida del forum per scrivere le formule.
"poll89":
Qui però non ce n'è bisogno: infatti un caro teoremino per gli integrali impropri afferma che, affinchè $int_{1}^{+infty} g(x) dx$ converga (ovvero abbia un valore finito), deve accadere che $lim_(x->+infty) g(x) = 0$,
Purtroppo questo teoremino è falso. L'unica cosa che puoi dire è che, se $g\ge 0$, allora \(\operatorname{liminf}_{x\to \infty} g(x)=0\).
Ciao, cercando in internet mi trovo col "teoremino" di poll89, il criterio necessario per la convergenza di un integrale improprio non pone nessuna clausola $g(x)>=0$ , o quanto meno non era indicata da nessuna parte questa cosa.
Ragazzi comunque volevo chiedervi un'altra cosa, nel seguente esercizio: $\int_-infty^0 e^(1/x)$ dato che l'intervallo non è $[a,+infty]$ , si può applicare lo stesso il "teoremino", o in caso contrario come si procede?
Grazie ancora
Ragazzi comunque volevo chiedervi un'altra cosa, nel seguente esercizio: $\int_-infty^0 e^(1/x)$ dato che l'intervallo non è $[a,+infty]$ , si può applicare lo stesso il "teoremino", o in caso contrario come si procede?
Grazie ancora
Come dicevo, il teoremino è vero nella formulazione del mio post precedente: se la funzione integranda è non negativa, il suo liminf deve essere zero. (La dimostrazione è pure piuttosto immediata: se il liminf di una funzione non negativa è strettamente positivo, allora la funzione è definitivamente più grande di una costante. E quindi l'integrale diverge. )
Detto questo, per il problema in questione, io farei una sostituzione $x=-\tilde{x}$ se volessi applicare il teoremino. (Ma è meglio mostrare che l'integrale diverge trovando direttamente una costante $c>0$ tale che $e^{\frac{1}{x}}\ge c>0$ in un intorno di $-\infty$. Così si evita di applicare teoremi a macchinetta, che poi tocca ricordarseli e in genere uno tende a dimenticarsene proprio quando gli servono. Esperienza personale, naturalmente)
Detto questo, per il problema in questione, io farei una sostituzione $x=-\tilde{x}$ se volessi applicare il teoremino. (Ma è meglio mostrare che l'integrale diverge trovando direttamente una costante $c>0$ tale che $e^{\frac{1}{x}}\ge c>0$ in un intorno di $-\infty$. Così si evita di applicare teoremi a macchinetta, che poi tocca ricordarseli e in genere uno tende a dimenticarsene proprio quando gli servono. Esperienza personale, naturalmente)
in realtà il teoremino che ho citato è semplicemente l'applicazione di due risultati classici sugli integrali di Riemann estesi. Il primo afferma che $int_{a}^{+infty} f(x) dx text( converge ) <=> sum_{n=a}^{+infty} f(n) text( converge)$, il secondo è invece la classica condizione necessaria per la convergenza della serie numeriche, che quindi in questo caso chiederebbe $lim_(n->+infty) f(n) = 0$.
Onestamente non ricordo alcuna condizione sul segno del termine della serie (ovvero della funzione integranda), ma del resto sono argomenti che non guardo da alcuni anni. Lascio controllare a te (qualunque libro o dispensa tu abbia sugli integrali impropri sicuramente riporta questo criterio).
In questo caso abbiamo $g(x) = cos^2(1/x) >=0$, quindi il problema non si pone. Però ti invito davvero a controllare, potresti sbagliare di brutto la prossima volta.
Onestamente non ricordo alcuna condizione sul segno del termine della serie (ovvero della funzione integranda), ma del resto sono argomenti che non guardo da alcuni anni. Lascio controllare a te (qualunque libro o dispensa tu abbia sugli integrali impropri sicuramente riporta questo criterio).
In questo caso abbiamo $g(x) = cos^2(1/x) >=0$, quindi il problema non si pone. Però ti invito davvero a controllare, potresti sbagliare di brutto la prossima volta.
Anche questa equivalenza è falsa, poll. E' vera solo se $f$ è una funzione decrescente. Purtroppo non ho molto tempo ora, ma su questo forum è stata postata alcune volte l'immagine di una funzione a "spikes", che fa da controesempio a molte congetture come questa.
Ripeto: anche se $\int_1^\infty f(x)\, dx$ è convergente, NON è detto che $f(x)\to 0$ ad infinito. Il limite potrebbe infatti non esistere.
Ripeto: anche se $\int_1^\infty f(x)\, dx$ è convergente, NON è detto che $f(x)\to 0$ ad infinito. Il limite potrebbe infatti non esistere.
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