Risoluzione integrali
Salve sono nuovo, per favore mi dite come risolvere i primi 2 integrali
e con che metodo calcolare il terzo?
Grazie
e con che metodo calcolare il terzo?
Grazie
Risposte
Per risolvere i primi due scomponi il denominatore e tieni conto che:
$k/((x-x_1)(x-x_2)) = A/(x-x_1) + B/(x-x_2)$ dove:
$A=lim_{x \rightarrow x_1} (x-x_1)*k/((x-x_1)(x-x_2))$ e $B=lim_{x \rightarrow x_2} (x-x_2)*k/((x-x_1)(x-x_2))$
A questo punto sia $A/(x-x_1)$ che $B/(x-x_2)$ sono due funzioni la cui primitiva si calcola molto facilmente.
Per il terzo prova a fare la sostituzione $sqrt(x-3)=t$, a occhio penso che così si possa risolvere agevolmente, se hai problemi chiedi pure...
$k/((x-x_1)(x-x_2)) = A/(x-x_1) + B/(x-x_2)$ dove:
$A=lim_{x \rightarrow x_1} (x-x_1)*k/((x-x_1)(x-x_2))$ e $B=lim_{x \rightarrow x_2} (x-x_2)*k/((x-x_1)(x-x_2))$
A questo punto sia $A/(x-x_1)$ che $B/(x-x_2)$ sono due funzioni la cui primitiva si calcola molto facilmente.
Per il terzo prova a fare la sostituzione $sqrt(x-3)=t$, a occhio penso che così si possa risolvere agevolmente, se hai problemi chiedi pure...
"Tipper":
Per risolvere i primi due scomponi il denominatore e tieni conto che:
$k/((x-x_1)(x-x_2)) = A/(x-x_1) + B/(x-x_2)$ dove:
$A=lim_{x \rightarrow x_1} (x-x_1)*k/((x-x_1)(x-x_2))$ e $B=lim_{x \rightarrow x_2} (x-x_2)*k/((x-x_1)(x-x_2))$
A questo punto sia $A/(x-x_1)$ che $B/(x-x_2)$ sono due funzioni la cui primitiva si calcola molto facilmente.
Per il terzo prova a fare la sostituzione $sqrt(x-3)=t$, a occhio penso che così si possa risolvere agevolmente, se hai problemi chiedi pure...
Tipper, come mai usi quel limite per trovare A e B? Non è più pratico ricavando i coefficienti della x al numeratore e facendo il sistema?
lore credo di no... Tipper ha usato i residui e personalmente credo siano il modo più rapido e agevole per calcolare i coefficienti. in particolare quella formula è adatta in presenza di poli semplici (come effettivamente avviene nel nostro caso), nel caso di poli multipli va fatta qualche piccola modifica
Personalmente non ho mai risolto degli integrali ricorrendo ai limite.
Quale sarebbe l'alternativa?
Per il terzo integrale, appena posso provo e vi faccio sapere.
Intanto vi ringrazio per il vostri aiuto.
Quale sarebbe l'alternativa?
Per il terzo integrale, appena posso provo e vi faccio sapere.
Intanto vi ringrazio per il vostri aiuto.
3)
se non leggo male al denominatore c'è sqrt(x-3)
In tal caso o si fa la sostituzione sqrt(x-3)=t come detto nei precedenti post oppure in modo più semplice si ha:
$ (x-1)=(x-3)+2$
per cui
$ (x-1)/sqrt(x-3)$ =$ (x-3)/sqrt(x-3)$ +$ 2/sqrt(x-3)$ =$ sqrt(x-3)$ +$ 2*((x-3)^(-0.5))$
ora l'integrale di $ sqrt(x-3)$ è $ 2/3*((x-3)^(3/2))$
mentre l'integrale di $ 2*(x-3)^(-0.5)$ =$ 4*sqrt(x-3)$
L'integrale finale è allora:
$ 2/3*((x-3)^(3/2)+4*sqrt(x-3)+C_0$ =
$ 2/3*(x+3)*sqrt(x-3)+C_0$
questa è la via per non usare il metodo di sostituzione.
chiaro?
fammi sapere.
ciao
Per gli altri integrali la teoria dei residui (e quindi usare il limite) va bene per poli semplici. altrimenti si può usare il classico metodo dell'identità dei polinomi se il delta del denominatore è maggiore di zero, oppure se il delta è minore dio zero di riportarsi al canonico integrale dell'arcotangente
Inoltre se non leggo male le formule il secondo integrale è pari a tre volte il primo integrale, basta mettere il 2 in evidenza al denominatore e semplificare con 6.
Per quanto riguarda il primo allora
$ x^2-2*x-3=(x-3)*(x+1)$
per cui basta scrivere $ 1/(x^2-2*x-3)$ =$ A/(x-3)$ +$ B/(x+1)$ . Svolgendo tale equazione ed isolando i termini in x e termini noti, per il principio di identità dei polinomi trovi:A=1/4 e B=-1/4
per cui l'integrale diventa semplice e pari a: 1/4*ln(abs(x-3))-1/4*ln(abs(x+1))+C_0
se non leggo male al denominatore c'è sqrt(x-3)
In tal caso o si fa la sostituzione sqrt(x-3)=t come detto nei precedenti post oppure in modo più semplice si ha:
$ (x-1)=(x-3)+2$
per cui
$ (x-1)/sqrt(x-3)$ =$ (x-3)/sqrt(x-3)$ +$ 2/sqrt(x-3)$ =$ sqrt(x-3)$ +$ 2*((x-3)^(-0.5))$
ora l'integrale di $ sqrt(x-3)$ è $ 2/3*((x-3)^(3/2))$
mentre l'integrale di $ 2*(x-3)^(-0.5)$ =$ 4*sqrt(x-3)$
L'integrale finale è allora:
$ 2/3*((x-3)^(3/2)+4*sqrt(x-3)+C_0$ =
$ 2/3*(x+3)*sqrt(x-3)+C_0$
questa è la via per non usare il metodo di sostituzione.
chiaro?
fammi sapere.
ciao
Per gli altri integrali la teoria dei residui (e quindi usare il limite) va bene per poli semplici. altrimenti si può usare il classico metodo dell'identità dei polinomi se il delta del denominatore è maggiore di zero, oppure se il delta è minore dio zero di riportarsi al canonico integrale dell'arcotangente
Inoltre se non leggo male le formule il secondo integrale è pari a tre volte il primo integrale, basta mettere il 2 in evidenza al denominatore e semplificare con 6.
Per quanto riguarda il primo allora
$ x^2-2*x-3=(x-3)*(x+1)$
per cui basta scrivere $ 1/(x^2-2*x-3)$ =$ A/(x-3)$ +$ B/(x+1)$ . Svolgendo tale equazione ed isolando i termini in x e termini noti, per il principio di identità dei polinomi trovi:A=1/4 e B=-1/4
per cui l'integrale diventa semplice e pari a: 1/4*ln(abs(x-3))-1/4*ln(abs(x+1))+C_0
"nicasamarciano":
3)
se non leggo male al denominatore c'è sqrt(x-3)
In tal caso o si fa la sostituzione sqrt(x-3)=t come detto nei precedenti post oppure in modo più semplice si ha:
(x-1)=(x-3)+2
per cui
(x-1)/sqrt(x-3)=(x-3)/sqrt(x-3)+2/sqrt(x-3)=sqrt(x-3)+2*((x-3)^(-0.5))
ora l'integrale di sqrt(x-3) è 2/3*((x-3)^(3/2)
mentre l'integrale di 2*(x-3)^(-0.5)=4*sqrt(x-3)
L'integrale finale è allora:
2/3*((x-3)^(3/2)+4*sqrt(x-3)+C_0=
2/3*(x+3)*sqrt(x-3)+C_0
questa è la via per non usare il metodo di sostituzione.
chiaro?
fammi sapere.
ciao
Per gli altri integrali la teoria dei residui (e quindi usare il limite) va bene per poli semplici. altrimenti si può usare il classico metodo dell'identità dei polinomi se il delta del denominatore è maggiore di zero, oppure se il delta è minore dio zero di riportarsi al canonico integrale dell'arcotangente
Inoltre se non leggo male le formule il secondo integrale è pari a tre volte il primo integrale, basta mettere il 2 in evidenza al denominatore e semplificare con 6.
Per quanto riguarda il primo allora
x^2-2*x-3=(x-3)*(x+1)
per cui basta scrivere1/(x^2-2*x-3)=A/(x-3)+B/(x+1). Svolgendo tale equazione ed isolando i termini in x e termini noti, per il principio di identità dei polinomi trovi:A=1/4 e B=-1/4
per cui l'integrale diventa semplice e pari a: 1/4*ln(abs(x-3))-1/4*ln(abs(x+1))+C_0
Ho provato ad usare il metodo della sostituzione per il primo integrale ma non sono riuscito ad andare avanti.
Inoltre ho difficoltà a leggere la notazione matematica da te usata.
Potresti usare il carattere come ho visto nei post precedenti? Grazie.
"smartmouse":
[quote="nicasamarciano"]3)
se non leggo male al denominatore c'è sqrt(x-3)
In tal caso o si fa la sostituzione sqrt(x-3)=t come detto nei precedenti post oppure in modo più semplice si ha:
(x-1)=(x-3)+2
per cui
(x-1)/sqrt(x-3)=(x-3)/sqrt(x-3)+2/sqrt(x-3)=sqrt(x-3)+2*((x-3)^(-0.5))
ora l'integrale di sqrt(x-3) è 2/3*((x-3)^(3/2)
mentre l'integrale di 2*(x-3)^(-0.5)=4*sqrt(x-3)
L'integrale finale è allora:
2/3*((x-3)^(3/2)+4*sqrt(x-3)+C_0=
2/3*(x+3)*sqrt(x-3)+C_0
questa è la via per non usare il metodo di sostituzione.
chiaro?
fammi sapere.
ciao
Per gli altri integrali la teoria dei residui (e quindi usare il limite) va bene per poli semplici. altrimenti si può usare il classico metodo dell'identità dei polinomi se il delta del denominatore è maggiore di zero, oppure se il delta è minore dio zero di riportarsi al canonico integrale dell'arcotangente
Inoltre se non leggo male le formule il secondo integrale è pari a tre volte il primo integrale, basta mettere il 2 in evidenza al denominatore e semplificare con 6.
Per quanto riguarda il primo allora
x^2-2*x-3=(x-3)*(x+1)
per cui basta scrivere1/(x^2-2*x-3)=A/(x-3)+B/(x+1). Svolgendo tale equazione ed isolando i termini in x e termini noti, per il principio di identità dei polinomi trovi:A=1/4 e B=-1/4
per cui l'integrale diventa semplice e pari a: 1/4*ln(abs(x-3))-1/4*ln(abs(x+1))+C_0
Ho provato ad usare il metodo della sostituzione per il primo integrale ma non sono riuscito ad andare avanti.
Inoltre ho difficoltà a leggere la notazione matematica da te usata.
Potresti usare il carattere come ho visto nei post precedenti? Grazie.[/quote]
il carattere usato nei post precedenti prevede all'inizio ed alla fine delle formule il simbolo $ . l'ho inserito. non so se ti è utile..
per quanto riguarda il terzo integrale la sostituzione da fare è $ sqrt(x-3)=t$ il che implica
$ x=t^2+3$ e cioè $ dx=2tdt$
sostituendo troverai che il tuo integrale sarà pari a:
$ int (2(t^2)+4)dt=2/3*t^3+4t+C_0$
sostituisci a t=sqrt(x-3) e trovi il risultato.
Altrimenti puoi non usare tale metodo come detto nell'altro post.
i primi due invece si risolvono non col metodo di sostituzione ma col metodo classico come detto da me e da altri. è inutile provare col metodo di sostituzione.
per quanto riguarda la scrittura mi perdonerai, ma non so fare di meglio e credo che sia chiara
altrimenti fammi sapere cercherò di far di meglio
ciao
"nicasamarciano":
il carattere usato nei post precedenti prevede all'inizio ed alla fine delle formule il simbolo $ . l'ho inserito. non so se ti è utile..
per quanto riguarda il terzo integrale la sostituzione da fare è $ sqrt(x-3)=t$ il che implica
$ x=t^2+3$ e cioè $ dx=2tdt$
sostituendo troverai che il tuo integrale sarà pari a:
$ int (2(t^2)+4)dt=2/3*t^3+4t+C_0$
sostituisci a t=sqrt(x-3) e trovi il risultato.
Altrimenti puoi non usare tale metodo come detto nell'altro post.
i primi due invece si risolvono non col metodo di sostituzione ma col metodo classico come detto da me e da altri. è inutile provare col metodo di sostituzione.
per quanto riguarda la scrittura mi perdonerai, ma non so fare di meglio e credo che sia chiara
altrimenti fammi sapere cercherò di far di meglio
ciao
Scusa ma era sqrt(x)-3, non sqrt(x-3)...
I caratteri adesso vanno bene, ma quando ti ho chiesto di usarli era in riferimento agli altri 2 integrali che hai svolto e che faccio fatica a leggere.
Intanto ti ringrazio per il tuo tempo
...e scusa se sto dando troppo fastidio...
Allora poni $sqrt(x)=t$, $x=t^2$, $dx=2tdt$.
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