Risoluzione integrale triplo

[Samuele141]

Ciao a tutti, vorrei risolvere questo integrale triplo:

$ int int int_(A)2z dx dy dz $

dove:

$ A={(x, y, z)in mathbb(R^3) : z>= 0, x^2 + 4z^2<= 9, 0<= y<= 3-x} $

Ho provato a fare il disegno e mi viene una specie di fetta di torta tagliata dal piano $ x-3 $, con la punta rivolta verso l'asse y e con la superficie superiore curvata data dall'ellissi $ x^2+4z^2<=9 $.

Ho provato a risolverlo prima rispetto a y e poi integrando sull'ellisse di base con le coordinate ellittiche, ma il risultato mi viene sbagliato rispetto a quanto dovrebbe venire (cioè $ 73/2 $, mente a me viene $ 81/3 $).

Grazie per l'aiuto!

[Samuele141]

"TeM":Dato l'insieme \[A := \left\{ (x,\,y,\,z) \in \mathbb{R}^3 : z \ge 0, \; x^2 + 4z^2 \le 9, \; 0 \le y \le 3-x \right\}\] segue che \[ \iiint\limits_A 2z\,dx\,dy\,dz = \int_{-3}^3 \left( \int_0^{3-x} \left( \int_0^{\frac{\sqrt{9-x^2}}{2}} 2z\,dz \right)dy \right)dx = \dots = 27 \, . \] Tutto qui.

Ah, grazie!
Non riesco a capire però perchè sia così semplice.
Posso chiederti come lo avresti fatto con i metodi di riduzione(sia per fili che per strati)?

Grazie mille ancora!

[Samuele141]

"TeM":[quote="Samuele14"]Ah, grazie!

Prego.

"Samuele14":Non riesco a capire però perché sia così semplice.

Perché non hai ancora del tutto chiaro come calcolare gli integrali multipli in "piena libertà".

"Samuele14":Posso chiederti come lo avresti fatto con i metodi di riduzione(sia per fili che per strati)?

Non è che preso un dominio qualsivoglia lo si possa "trattare" così allegramente. In questo caso l'integrazione per strati non ha alcun senso di essere messa in atto, complica di molto un conto banale. D'altro canto, risulta molto comoda l'integrazione per fili paralleli all'asse y, ossia \[ \iiint\limits_A 2z\,dx\,dy\,dz = \iint\limits_{\begin{cases} x^2 + 4z^2 \le 9 \\ z \ge 0 \end{cases}} \left( \int_0^{3-x} 2z\,dy \right)\,dx\,dz = \dots \] che non è altro che un remake di quanto scritto sopra. [/quote]

Ah, perfetto!
Evidentemente il mio calcolo era giusto: integravo per fili e poi sulla semiellisse tramite le coordinate ellittiche, difatti ottenevo $ 81/3=27 $.
Probabilmente ho scritto male io il risultato sul foglio del tutorato.
Grazie ancora e scusa il disturbo!