Risoluzione integrale trigonometrico
Ciao a tutti.
Calcolando la lunghezza di una curva in un esercizio, mi sono ritrovato a dover calcolare il seguente integrale:
$\int_0^(2\pi) \sqrt(1+\cos t) dt $
Che ho risolto utilizzando la formula di bisezione del coseno: $\cos(t/2)=\pm\sqrt((1+\cos t)/(2))$
Da cui si ottiene: $\int_0^(2\pi) \sqrt(1+\cos t) \ dt = \int_0^(2\pi) \sqrt(2)|\cos(t/2)| dt$
giungendo al risultato con facili conti.
La mia domanda è questa: si poteva risolvere anche in un altro modo, che non chieda di utilizzare la bisezione del coseno? Perché, obiettivamente, mi rendo conto che non tutti gli studenti si ricordano tale formula o viene loro in mente di utilizzarla (io stesso ho dovuto comunque ricercarla tra le varie formule trigonometriche, poiché appunto non la ricordavo a memoria).
Calcolando la lunghezza di una curva in un esercizio, mi sono ritrovato a dover calcolare il seguente integrale:
$\int_0^(2\pi) \sqrt(1+\cos t) dt $
Che ho risolto utilizzando la formula di bisezione del coseno: $\cos(t/2)=\pm\sqrt((1+\cos t)/(2))$
Da cui si ottiene: $\int_0^(2\pi) \sqrt(1+\cos t) \ dt = \int_0^(2\pi) \sqrt(2)|\cos(t/2)| dt$
giungendo al risultato con facili conti.
La mia domanda è questa: si poteva risolvere anche in un altro modo, che non chieda di utilizzare la bisezione del coseno? Perché, obiettivamente, mi rendo conto che non tutti gli studenti si ricordano tale formula o viene loro in mente di utilizzarla (io stesso ho dovuto comunque ricercarla tra le varie formule trigonometriche, poiché appunto non la ricordavo a memoria).
Risposte
Io prima di tutto osserverei che
\[
I=\int_0^{2\pi}\sqrt{1+\cos t}\, dt = 2\int_0^\pi \sqrt{1+\cos t}\, dt.\]
Poi con il cambio di variabile \(x=\cos t\)
\[
I=2\int_0^\pi \sqrt{1+\cos t}\, dt = 2\int_{-1}^1 \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x^2}}\, dx = 2\int_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{1-x}}\, dx =-4\int_{-1}^1\frac{d}{dx}\sqrt{1-x}\, dx = 4\sqrt{2}.\]
\[
I=\int_0^{2\pi}\sqrt{1+\cos t}\, dt = 2\int_0^\pi \sqrt{1+\cos t}\, dt.\]
Poi con il cambio di variabile \(x=\cos t\)
\[
I=2\int_0^\pi \sqrt{1+\cos t}\, dt = 2\int_{-1}^1 \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x^2}}\, dx = 2\int_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{1-x}}\, dx =-4\int_{-1}^1\frac{d}{dx}\sqrt{1-x}\, dx = 4\sqrt{2}.\]
Mi sembra una buona idea! Grazie dissonance
Ciao Lebesgue,
In alternativa anche senza sostituzioni nel modo seguente:
$ I = 2\int_0^\pi \sqrt{1+ cos t}\text{d}t = 2\int_0^\pi \sqrt{1- cos^2 t}/(\sqrt{1- cos t})\text{d}t = 2\int_0^\pi (sin t)/(\sqrt{1- cos t})\text{d}t = $
$ = 2\int_0^\pi (1- cos t)^{-1/2} sin t\text{d}t = 2[2 \sqrt{1 - cos t}]_0^{\pi} = 4 \sqrt2$
In alternativa anche senza sostituzioni nel modo seguente:
$ I = 2\int_0^\pi \sqrt{1+ cos t}\text{d}t = 2\int_0^\pi \sqrt{1- cos^2 t}/(\sqrt{1- cos t})\text{d}t = 2\int_0^\pi (sin t)/(\sqrt{1- cos t})\text{d}t = $
$ = 2\int_0^\pi (1- cos t)^{-1/2} sin t\text{d}t = 2[2 \sqrt{1 - cos t}]_0^{\pi} = 4 \sqrt2$
Avrei voluto mandarti la mia soluzione (ho dovuto svolgere lo stesso integrale per calcolare la lunghezza di una curva anche io hahaha) ma Dissonance mi ha battuto sul tempo e ha praticamente fatto uguale a me: l'unica differenza è che io ho risostituito $1-u = \alpha$, ottenendo:
$2\int_{2}^{0} 1 / \sqrt{\alpha} d\alpha$ e moltiplicando e dividendo per $-1$ per aggiustare gli estremi ottieni:
$-2[-2\sqrt\alpha]_0^2 = +4\sqrt2$
Il metodo di Dissonance ovviamente è più smart alla fine, mentre il mio è un po' più macchinoso quindi non prendere spunti da me
Il mio andava da $-2\pi \to 2\pi$ in realtà e perciò alla fine veniva $16$. Probabilmente sarebbe stata l'unica occasione in cui potevo dare io un contributo a te
$2\int_{2}^{0} 1 / \sqrt{\alpha} d\alpha$ e moltiplicando e dividendo per $-1$ per aggiustare gli estremi ottieni:
$-2[-2\sqrt\alpha]_0^2 = +4\sqrt2$
Il metodo di Dissonance ovviamente è più smart alla fine, mentre il mio è un po' più macchinoso quindi non prendere spunti da me
Il mio andava da $-2\pi \to 2\pi$ in realtà e perciò alla fine veniva $16$. Probabilmente sarebbe stata l'unica occasione in cui potevo dare io un contributo a te
Non commento ovviamente pilloeffe che non ne ha certo bisogno.
Quanto a SteezyMenchi, chiaramente il risultato è lo stesso e il metodo è correttissimo. Io mi sono risparmiato una sostituzione solo per ragioni tipografiche; ogni volta che fai una sostituzione devi scrivere "con la sostituzione questo=quello bla bla bla"... vedi come fa Pilloeffe per esempio. Senza sostituzioni puoi scrivere tutto in una riga. Trucchi del mestiere, utili più per scrivere che per ragionare in autonomia. La morale è che fare più sostituzioni non è macchinoso, basta saperne fare poche quando è il momento di scrivere il tutto.
Quanto a SteezyMenchi, chiaramente il risultato è lo stesso e il metodo è correttissimo. Io mi sono risparmiato una sostituzione solo per ragioni tipografiche; ogni volta che fai una sostituzione devi scrivere "con la sostituzione questo=quello bla bla bla"... vedi come fa Pilloeffe per esempio. Senza sostituzioni puoi scrivere tutto in una riga. Trucchi del mestiere, utili più per scrivere che per ragionare in autonomia. La morale è che fare più sostituzioni non è macchinoso, basta saperne fare poche quando è il momento di scrivere il tutto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo