Risoluzione integrale lunghezza della curva esponenziale

[bernardo2]

Ciao a tutti qualcuno sa come si può calcolare la lunghezza della curva esponenziale? Ovvero risolvere il seguente integrale:
$\int \sqrt{1+e^(2x)} dx$
Ho provato con varie sostituzioni ma non ho risolto nulla

[_overflow_1]

Ciao io ho provato a risolvere così:

pongo $(1+e^(2x)) = t$ quindi $x = ln(t-1)/2$ e $dx = 1/(2(t-1))dt$
l'integrale diventa quindi:
$1/2int(sqrt(t)/(t-1))$
faccio un'altra sostituzione ovvero pongo $s = sqrt(t)$ quindi $t = s^2$ e $dt = 2sds$
l'integrale diventa quindi:

$int(s^2/(s^2-1))$

eseguo la divisione e diventa:
$int1+int1/(s^2-1)$

riscivo l'integrale in questo modo:

$s+int1/(2(s-1)) - int1/(2(s+1))$

integrando il risultato è:

$s+(ln(s-1))/2-(ln(s+1))/2$

ricordo che ho effettuato le sostituzioni quindi sostituisco nuovamente e alla fine ottengo:

$sqrt(1+e^(2x))+ln(sqrt(1+e^(2x))-1)/2-ln(sqrt(1+e^(2x))+1)/2$

non so se il procedimento è giusto quindi prendilo con le pinze, però eseguendo la derivata di:
$sqrt(1+e^(2x))+ln(sqrt(1+e^(2x))-1)/2-ln(sqrt(1+e^(2x))+1)/2$

si ottiene:

$sqrt(1+e^(2x))$ quindi dovremmo esserci

[ciampax]

overflow, sbagli l'ultimo passaggio. Poiché

$s+1/2\ \ln|s-1|-1/2\ \ln|s-1|=s+1/2\ \ln|{s-1}/{s+1}|$

è il risultato dell'integrale (ci vanno i valori assoluti in quei logaritmi), segue che

$\sqrt{1+e^{2x}}+1/2\ \ln|{\sqrt{1+e^{2x}}-1}/{\sqrt{1+e^{2x}}+1}|$

è il risultato corretto. Al più puoi razionalizzare all'interno del valore assoluto, ottenendo

$\sqrt{1+e^{2x}}+1/2\ \ln|{e^{2x}-2\sqrt{1+e^{2x}}}/{e^{2x}}|=\sqrt{1+e^{2x}}+1/2\ \ln|e^{2x}-2\sqrt{1+e^{2x}}|-x$

[_overflow_1]

Si si scusate non avevo messo i moduli perché avevo considerato solo $ln(sqrt(1+e^(2x))+1)$ , che è sempre positivo, e non $ln(sqrt(1+e^(2x))-1)$, scusate nuovamente...