Risoluzione Integrale Indefinito

[seby.stl]

Salve ragazzi, ho un problema con questo integrale: $ int log(x^2+x+1) dx $
Ho iniziato a svolgerlo per parti, prendendo come fattore differenziale 1 e fattore finito il logaritmo.
A questo punto ottengo $ x log(x^2+x+1)- int(x(2x+1))/(x^2+x+1)dx $ ma non so come andare avanti.
Qualcuno ha qualche suggerimento?

[max85]

Prova a riscriverlo come
$ int(2x^2+x)/(x^2+x+1)dx $,
separa la frazione in due integrali distinti,
$ int(2x^2)/(x^2+x+1)dx + int(x)/(x^2+x+1)dx $;
somma e sottrai a sinistra $ x+1-x-1 $ e a destra $ +1-1 $, riscrivendoli nuovamente come
$ 2int((x^2+x+1)-x-1)/(x^2+x+1)dx + int((x+1)-1)/(x^2+x+1)dx $.
A sinistra potrai semplificare il polinomio presente sia al numeratore che al denominatore, a destra avrai al numeratore la derivata del denominatore più un altro termine. Vai un po' avanti, dovrebbe riuscirti!

[Magma1]

$ int(2x^2+x)/(x^2+x+1)dx$

Oppure si può fare la divisone tra polinomi

Posto $P(x)$ dividendo, $D(x)$ divisore, $Q(x)$ quoziente, $R(x)$ resto, si ha

$(P(x))/(D(x))=Q(x)+R(x) $

$hArr P(x)=D(x)*Q(x)+R(x)$

$(2x^2+2)/(x^2+x+1)=2+(-x-2)$

$ hArr 2x^2+2=2*(x^2+x+1)+(-x-2)$

Pertanto

$P(x)=D(x)*Q(x)+R(x) hArr (P(x))/(D(x))=Q(x)+(R(x))/(D(x))$

$int (P(x))/(D(x))=int Q(x) dx + int (R(x))/(D(x))$

$ int(2x^2+x)/(x^2+x+1)dx =int 2dx-int (x+2)/(x^2+x+1) dx=$

$=int 2dx-(int (x)/(x^2+x+1) dx+ int(2)/(x^2+x+1) dx)=...$

Come continueresti ora?

[seby.stl]

"max85":Prova a riscriverlo come
$ int(2x^2+x)/(x^2+x+1)dx $,
separa la frazione in due integrali distinti,
$ int(2x^2)/(x^2+x+1)dx + int(x)/(x^2+x+1)dx $;
somma e sottrai a sinistra $ x+1-x-1 $ e a destra $ +1-1 $, riscrivendoli nuovamente come
$ 2int((x^2+x+1)-x-1)/(x^2+x+1)dx + int((x+1)-1)/(x^2+x+1)dx $.
A sinistra potrai semplificare il polinomio presente sia al numeratore che al denominatore, a destra avrai al numeratore la derivata del denominatore più un altro termine. Vai un po' avanti, dovrebbe riuscirti!

Ho provato in questa maniera e , procedendo , ottengo $ 2x-int(x+1)/(x^2+x+1) dx- int 1/(x^2+x+1) dx $ e a questo punto non so più come continuare

[javicemarpe]

The same problem appeared here:

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