Risoluzione integrale doppio

[ThaLawyah1]

Ciao a tutto il forum,

sono un nuovo iscritto e mi chiamo Lorenzo e sono studente di Ingegneria Industriale,

chiedo aiuto a tutto il forum per la risoluzione di questo integrale doppio:

$\int_T int |x|/(x^2+y^2) dxdy$
$T={(x,y)\epsilonRR^2:1<=x^2+y^2<=4}$

io ho proceduto in questa maniera:

sostituzione in coordinate polari
$\{(x= rho cos theta),(y= rho sin theta):}$

costruito jacobiana
$J=((x_rho,x_theta),(y_rho,y_theta))=((cos theta,- rho sin theta),(sin theta, rho cos theta))$

calcolato Jacobiano
$|J|=rho$
$dxdy=rho d rho d theta$

a questo punto sostituisco nell'integrale iniziale e ottengo
$\int_T int |rho cos theta|/(rho^2) rho d rho d theta$

fin qui penso sia giusto....poi penso di aver fatto un po' di confusione

ho semplificato $rho^2$
e ho trasformato l'integrale in
$\int_{0}^{2\pi} |cos theta| d theta$

essendoci il valore assoluto questo integrale vale 4??
graficamente


dove sbaglio?

vi ringrazio in anticipo

Lorenzo

[Quinzio]

Hai saltato un passaggio, che fine ha fatto il raggio ?

[ThaLawyah1]

sono tornato sulla mia risoluzione e penso che la semplificazione di $rho$ non sia corretta

quindi se non è possibile semplificare può essere che diventi così:

$\int_1^4 (rho * |rho|)/rho^2 [\int_0^(2pi) |cos theta| d theta]drho$

risulta 12???

[ciampax]

Se fai le opportune semplificazioni, quell'integrale si riduce a

$\int_1^2\ d\rho\cdot\int_0^{2\pi}|\cos\theta|\ d\theta$

(ti faccio presente che sostituendo le coordinate polari, ottieni $1\le\rho^2\le 4$ e quindi $1\le \rho\le 2$). Il risultato dovrebbe essere 4.

[sirbasic]

il problema del valore assoluto infastisce anche me ma ti vorrei fare notare che
$1 <= rho <= 2$ e non tra $1$ e $4$
in quanto la circonferenza $ x^2 + y^2 = 4$ ha raggio $2$!
Detto questo si ha che
$int int_(C)^() |x|/(x^2 + y^2) \ dx \ dy = int int_(D)^()(|rho cos theta| rho )/rho^2 \ d rho \ d theta $
e quindi
$int int_(C)^()|rho cos theta|/rho \ d rho \ d theta$

[ciampax]

"sirbasic":il problema del valore assoluto infastisce anche me ma ti vorrei fare notare che
$1 <= rho <= 2$ e non tra $1$ e $4$
in quanto la circonferenza $ x^2 + y^2 = 4$ ha raggio $2$!
Detto questo si ha che
$int int_(C)^() |x|/(x^2 + y^2) \ dx \ dy = int int_(D)^()(|rho cos theta| rho )/rho^2 \ d rho \ d theta $
e quindi
$int int_(C)^()|rho cos theta|/rho \ d rho \ d theta$

Ti sei dimenticato lo Jacobiano....

[ThaLawyah1]

quindi è corretto così

$\int_1^2 (rho * |rho|)/rho^2 [\int_0^(2pi) |cos theta| d theta]drho$

e risulta 4???

[sirbasic]

"ciampax":[quote="sirbasic"]il problema del valore assoluto infastisce anche me ma ti vorrei fare notare che
$1 <= rho <= 2$ e non tra $1$ e $4$
in quanto la circonferenza $ x^2 + y^2 = 4$ ha raggio $2$!
Detto questo si ha che
$int int_(C)^() |x|/(x^2 + y^2) \ dx \ dy = int int_(D)^()(|rho cos theta| rho )/rho^2 \ d rho \ d theta $
e quindi
$int int_(C)^()|rho cos theta|/rho \ d rho \ d theta$

Ti sei dimenticato lo Jacobiano....[/quote]
scusami ma penso di averlo messo...
$int int_(D)^()(|rho cos theta| rho )/rho^2 \ d rho \ d theta $

[ciampax]

Ah, era dietro il coseno e non lo vedevo.

@ TahLawyah: sì