Risoluzione integrale doppio
Salve a tutti, dovrei risolvere quest'integrale doppio:
$\intint_{D}y dxdy$
$D={(x,y)\in R: x^2-1\leq y\leq \sqrt{1-x^2}}$
Dopo aver disegnato il grafico e trovato i punti ho trovato le variazioni di x e y:
$D={(x,y)\in R: -1\leq x \leq 1 ,x^2-1\leq y\leq \sqrt{1-x^2}}$
Quindi ho integrato verticalmente:
$\int_{-1}^{1}dx\int_{x^2-1}^{\sqrt{1-x^2}}y dy=\int_{-1}^{1}dx\left[\frac{y^2}{2}\right]_{x^2-1}^{\sqrt{1-x^2}}=\int_{-1}^{1}\frac{1-x^2-(x^2-1)^2}{2}dx=\int_{-1}^{1}\frac{-x^4+x^2}{2}dx$
$=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}-x^4dx +\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}x^2dx=\frac{1}{2}\left[\frac{-x^5}{5}\right]_{-1}^{1}+\frac{1}{2}\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1}=\frac{2}{15}$
È corretto come ho trovato il dominio e ho svolto il calcolo dell'integrale?
$\intint_{D}y dxdy$
$D={(x,y)\in R: x^2-1\leq y\leq \sqrt{1-x^2}}$
Dopo aver disegnato il grafico e trovato i punti ho trovato le variazioni di x e y:
$D={(x,y)\in R: -1\leq x \leq 1 ,x^2-1\leq y\leq \sqrt{1-x^2}}$
Quindi ho integrato verticalmente:
$\int_{-1}^{1}dx\int_{x^2-1}^{\sqrt{1-x^2}}y dy=\int_{-1}^{1}dx\left[\frac{y^2}{2}\right]_{x^2-1}^{\sqrt{1-x^2}}=\int_{-1}^{1}\frac{1-x^2-(x^2-1)^2}{2}dx=\int_{-1}^{1}\frac{-x^4+x^2}{2}dx$
$=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}-x^4dx +\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}x^2dx=\frac{1}{2}\left[\frac{-x^5}{5}\right]_{-1}^{1}+\frac{1}{2}\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1}=\frac{2}{15}$
È corretto come ho trovato il dominio e ho svolto il calcolo dell'integrale?
Risposte
Ciao Gh3rra,
Beh, in realtà il dominio $D$ è già assegnato in forma "buona" dall'esercizio: per trovare dove varia la $x$ basta imporre la condizione di esistenza del radicale, il che non mi pare complicato...
Se devo essere onesto fino in fondo poi la risoluzione dell'integrale doppio è corretta, ma il disegno che hai postato è veramente orrendo...
"Gh3rra":
È corretto come ho trovato il dominio e ho svolto il calcolo dell'integrale?
Beh, in realtà il dominio $D$ è già assegnato in forma "buona" dall'esercizio: per trovare dove varia la $x$ basta imporre la condizione di esistenza del radicale, il che non mi pare complicato...
Se devo essere onesto fino in fondo poi la risoluzione dell'integrale doppio è corretta, ma il disegno che hai postato è veramente orrendo...
Meglio $\int_{-1}^{1}[\int_{x^2-1}^{\sqrt{1-x^2}}y dy] dx$
Come l'hai scritto è un prodotto di integrali, non un integrale doppio.
Potrebbe costarti all'esame scritto.
Come l'hai scritto è un prodotto di integrali, non un integrale doppio.
Potrebbe costarti all'esame scritto.
"Bokonon":
Come l'hai scritto è un prodotto di integrali, non un integrale doppio.
Beh no, se non ci sono ambiguità scrivere il $\text{d}x $ prima negli integrali è una cosa che si vede anche abbastanza spesso soprattutto nei testi di Fisica quantistica anglosassoni: puoi dare un'occhiata ad esempio qui.
"pilloeffe":
[è una cosa che si vede anche abbastanza spesso soprattutto nei testi di Fisica quantistica anglosassoni
Ma se l'esame è tenuto da un matematico...io non rischierei
Un giorno aprirò un thread sulle notazioni...
"Bokonon":
Ma se l'esame è tenuto da un matematico...io non rischierei
Beh, però se il matematico in questione mi facesse costare cara una cosa del genere nello scritto dell'esame protesterei vivacemente e gli porterei come prova una delle (tante) pubblicazioni in cui tale notazione è usata...
Comunque la pubblicazione di cui al link del mio post precedente è di Richard MacKenzie, che a giudicare dal curriculum non mi sembra proprio uno che ha difficoltà con la Matematica...
@pilloeffe ...è ambigua.
E non costa nulla scrivere le cose perbene invece che sentirsi rispondere "e allora come scriverebbe un prodotto integrale" ad eventuale ricorso
E non costa nulla scrivere le cose perbene invece che sentirsi rispondere "e allora come scriverebbe un prodotto integrale" ad eventuale ricorso
"Bokonon":
...è ambigua.
Una cosa è ambigua se dà luogo ad ambiguità: nel caso in esame (così come in tutti i casi delle equazioni nella pubblicazione che ho citato, ma non è mica l'unica eh, ce ne sono diverse...) ritengo che a nessuno possa ragionevolmente venire in mente che si tratti di un prodotto integrale.
"pilloeffe":
ritengo che a nessuno possa ragionevolmente venire in mente che si tratti di un prodotto integrale.
A me è capitato e non puoi accusarmi di aver sbagliato
Prendi questo $(v_x,v_y)$
Che vuol dire?
Mi sa che il giorno in cui aprirò il thread sulle notazioni (ma ancor di più sul linguaggio matematico degli espertoni, che è più simile all'odiato al linguaggio dei bimbiminkia su internet di quanto non si voglia ammettere) si sta avvicinando...
"Bokonon":
A me è capitato
Se mi dici che ti è capitato in generale posso anche crederci, se mi dici che ti è capitato nel caso specifico di questo post mi dispiace ma non ci credo...
"Bokonon":
non puoi accusarmi di aver sbagliato
Nessuno ti sta accusando di nulla, stiamo semplicemente discutendo civilmente su un forum. I forum sono fatti anche per questo... Anzi ben venga, una volta tanto che non ci si limita alla risoluzione di un semplice esercizio, ma si discute di un argomento che comunque è interessante (almeno per me, ma vedo anche per altri a giudicare dal numero di visite al thread...
)"Bokonon":
Prendi questo $(v_x,v_y) $
Che vuol dire?
Bravo, hai fatto proprio l'esempio che avrei voluto che facessi! QUESTO è ambiguo. Potrebbe essere un vettore, un prodotto scalare, una derivata di $v_x $ rispetto a $v_y $ e chi più ne ha più ne metta... Perché è ambiguo? Perché dà luogo ad ambiguità: non si capisce perché non c'è il CONTESTO, che è molto importante. Nel caso specifico è diverso: il contesto è "risoluzione di un integrale doppio". Proprio in riferimento a tale contesto ritengo non vi possano essere ambiguità.
"Bokonon":
Mi sa che il giorno in cui aprirò il thread sulle notazioni [...] si sta avvicinando...
Se lo farai ti assicuro la mia partecipazione alla discussione...
Appurato che il mio suggerimento era diretto ad un esame. Un esame scritto non è il terreno per battersi sulla libertà di usare certe notazioni.
Dato l'esame, l'OP può scrivere l'integrale come gli pare e adottare le persino le notazioni dei fisici (che a me piacciono!
)
Però, visto il simpatico OT, voglio contestare la tua osservazione, giusto per il piacere di argomentare.
...ne consegue che, dato un contesto condiviso, è lecito usare notazioni a piacere perchè "tanto l'interlocutore capisce"?
Più in generale, abbiamo millanta esempi di thread aperti in cui il contesto, apparentemente chiaro, non era affatto tale. Se si scende questa china, poi si arriva a discutere su "quand'è che un contesto è chiaro?"
Non prometto nulla a breve ma...voglio provare a raccogliere le (mie) idee prima di aprire un thread un minimo strutturato.
Dato l'esame, l'OP può scrivere l'integrale come gli pare e adottare le persino le notazioni dei fisici (che a me piacciono!
) Però, visto il simpatico OT, voglio contestare la tua osservazione, giusto per il piacere di argomentare.
"pilloeffe":
non si capisce perché non c'è il CONTESTO, che è molto importante. Nel caso specifico è diverso: il contesto è "risoluzione di un integrale doppio". Proprio in riferimento a tale contesto ritengo non vi possano essere ambiguità.
...ne consegue che, dato un contesto condiviso, è lecito usare notazioni a piacere perchè "tanto l'interlocutore capisce"?
Più in generale, abbiamo millanta esempi di thread aperti in cui il contesto, apparentemente chiaro, non era affatto tale. Se si scende questa china, poi si arriva a discutere su "quand'è che un contesto è chiaro?"
"pilloeffe":
Se lo farai ti assicuro la mia partecipazione alla discussione...
Non prometto nulla a breve ma...voglio provare a raccogliere le (mie) idee prima di aprire un thread un minimo strutturato.
"Bokonon":
...ne consegue che, dato un contesto condiviso, è lecito usare notazioni a piacere perchè "tanto l'interlocutore capisce"?
Mi dispiace, ma non c'è alcuna logica conseguenza in questa conclusione che hai tratto... Conosci i sillogismi aristotelici, in particolare quelli non validi logicamente?
Sarebbe un po' come dire che siccome il Parlamento italiano ha votato a maggioranza che Ruby è la nipote di Mubarak ne consegue che Ruby (marocchina) è la nipote di Mubarak (egiziano).
Tornando nello specifico, la questione invece è tutta qui:
"pilloeffe":
Nel caso specifico è diverso: il contesto è "risoluzione di un integrale doppio". Proprio in riferimento a tale contesto ritengo non vi possano essere ambiguità.
La domanda alla fine è questa: tu o qualcun altro ritiene che, in riferimento al contesto citato, l'OP abbia scritto nel suo post qualcosa che possa essere interpretato in modo ambiguo da tutti coloro che abbiano una ragionevole minima conoscenza dell'argomento?
Per me la risposta a questa domanda è No, per te è Sì?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo