Risoluzione integrale doppio
Buonasera,
Non riesco a risolvere un integrale doppio di questa funzione:
$f(x,y)= ln(1+x^2 +y^2)/(1+x^2 +y^2)+5y*sen(x^2 + y^2) + x^2$
C'è qualcuno che potrebbe darmi qualche dritta su come riuscire ad integrare almeno rispetto ad y?
Grazie!
Non riesco a risolvere un integrale doppio di questa funzione:
$f(x,y)= ln(1+x^2 +y^2)/(1+x^2 +y^2)+5y*sen(x^2 + y^2) + x^2$
C'è qualcuno che potrebbe darmi qualche dritta su come riuscire ad integrare almeno rispetto ad y?
Grazie!
Risposte
Manca l'insieme su cui si sta integrando, senza non ti possiamo aiutare.
L'insieme è chiamato A ed è l'intersezione del semipiano $x>=0$ con il cerchio $x^2 +y^2 <= 2$
Facendo il dominio di integrazione ho trovato che
x varia tra: $0$ e $2^(1/2)$
y varia tra: $-(2-x^2)^(1/2)$ e $(2-x^2)^(1/2)$
Facendo il dominio di integrazione ho trovato che
x varia tra: $0$ e $2^(1/2)$
y varia tra: $-(2-x^2)^(1/2)$ e $(2-x^2)^(1/2)$
Non mi è chiarissimo cosa sta succedendo: sembra che tu sia passato in coordinate polari, ma poi mantieni la $y$ in coordinate cartesiane; facciamo un po' d'ordine!
Sia $x=\rho \cos \theta$ e sia $y=\rho \sin \theta$.
Come si trasforma l'insieme $A$ dopo questo cambio di coordinate? Come variano $\rho$ e $\theta$ nel nuovo insieme?
Alla funzione integranda ci pensiamo dopo.
Se ti è chiaro, cerca di trovare gli estremi di integrazione corretti; $\theta$ è sbagliato e devi scrivere tutto in polari.
Se non ti convince che $\theta$ sia sbagliato, prova a fare una bozza dell'insieme su cui stai integrando e guarda dove finisci per $\theta=\pi$; noti delle contraddizioni col tuo insieme di partenza?
Sia $x=\rho \cos \theta$ e sia $y=\rho \sin \theta$.
Come si trasforma l'insieme $A$ dopo questo cambio di coordinate? Come variano $\rho$ e $\theta$ nel nuovo insieme?
Alla funzione integranda ci pensiamo dopo.
Se ti è chiaro, cerca di trovare gli estremi di integrazione corretti; $\theta$ è sbagliato e devi scrivere tutto in polari.
Se non ti convince che $\theta$ sia sbagliato, prova a fare una bozza dell'insieme su cui stai integrando e guarda dove finisci per $\theta=\pi$; noti delle contraddizioni col tuo insieme di partenza?
No scusa, ho proprio sbagliato a scrivere, non sono mai passato in coordinate polari.
La x la faccio variare tra $0$ e $2^(1/2)$.
La x la faccio variare tra $0$ e $2^(1/2)$.
Ok! In tal caso allora l'integrale si scrive come
$$\int_{0}^{\sqrt{2}} \left(\int_{-\sqrt{2-x^2}}^{\sqrt{2-x^2}} \left(\frac{\ln(1+x^2+y^2)}{1+x^2+y^2} +5y \sin(x^2+y^2) +x^2 \right) \text{d}y\right) \text{d}x$$
Decisamente bruttino.
Innanzitutto notiamo questo: possiamo scrivere, per l'additività dell'integrale rispetto alla funzione integranda, che
$$\int_{A} \left(\frac{\ln(1+x^2+y^2)}{1+x^2+y^2} +5y \sin(x^2+y^2) +x^2 \right) \text{d}x \text{d}y=$$
$$=\int_{A} \frac{\ln(1+x^2+y^2)}{1+x^2+y^2} \text{d}x \text{d}y +\int_{A} 5y\sin(x^2+y^2) \text{d}x \text{d}y + \int_{A} x^2 \text{d}x \text{d}y$$
Notiamo subito che
$$\int_{A} 5y\sin(x^2+y^2) \text{d}x \text{d}y=0$$
In quanto la funzione è dispari in $y$ e l'insieme è simmetrico in $y$.
Per quanto riguarda il resto, puoi scegliere di fare il primo in coordinate polari ed il terzo in coordinate cartesiane, anche se io, a questo punto, passerei in coordinate polari in entrambi; le funzioni integrande diventano
$$\int_{\Omega} \frac{\ln(1+\rho^2)}{1+\rho^2}\rho \text{d}\rho \text{d}\theta + \int_{\Omega} \rho^3 \cos^2\theta \text{d}\rho \text{d}\theta$$
Ora c'è solo da identificare $\Omega$, ma questo devi farmi vedere tu se e dove hai problemi nel farlo!
Come cambia $A \to \Omega$ avendo posto $x=\rho \cos \theta$ ed $y=\rho \sin \theta$?
$$\int_{0}^{\sqrt{2}} \left(\int_{-\sqrt{2-x^2}}^{\sqrt{2-x^2}} \left(\frac{\ln(1+x^2+y^2)}{1+x^2+y^2} +5y \sin(x^2+y^2) +x^2 \right) \text{d}y\right) \text{d}x$$
Decisamente bruttino.
Innanzitutto notiamo questo: possiamo scrivere, per l'additività dell'integrale rispetto alla funzione integranda, che
$$\int_{A} \left(\frac{\ln(1+x^2+y^2)}{1+x^2+y^2} +5y \sin(x^2+y^2) +x^2 \right) \text{d}x \text{d}y=$$
$$=\int_{A} \frac{\ln(1+x^2+y^2)}{1+x^2+y^2} \text{d}x \text{d}y +\int_{A} 5y\sin(x^2+y^2) \text{d}x \text{d}y + \int_{A} x^2 \text{d}x \text{d}y$$
Notiamo subito che
$$\int_{A} 5y\sin(x^2+y^2) \text{d}x \text{d}y=0$$
In quanto la funzione è dispari in $y$ e l'insieme è simmetrico in $y$.
Per quanto riguarda il resto, puoi scegliere di fare il primo in coordinate polari ed il terzo in coordinate cartesiane, anche se io, a questo punto, passerei in coordinate polari in entrambi; le funzioni integrande diventano
$$\int_{\Omega} \frac{\ln(1+\rho^2)}{1+\rho^2}\rho \text{d}\rho \text{d}\theta + \int_{\Omega} \rho^3 \cos^2\theta \text{d}\rho \text{d}\theta$$
Ora c'è solo da identificare $\Omega$, ma questo devi farmi vedere tu se e dove hai problemi nel farlo!
Come cambia $A \to \Omega$ avendo posto $x=\rho \cos \theta$ ed $y=\rho \sin \theta$?
Ti ringrazio molto, non mi era venuto in mente che essendo un mezzo cerchio potevo passare alle coordinate polari.
Dopo essere passato alle coordinate polari:
\[ \int_{\Omega} \frac{\ln(1+\rho^2)}{1+\rho^2}\rho \text{d}\rho \text{d}\theta \]
$theta$ lo faccio variare da $- pi/2$ a $+ pi/2$
$rho$ lo faccio variare da $0$ a $2^(1/2)$
E la seconda parte:
\[ \int_{A} x^2 \text{d}x \text{d}y \]
Ho preferito farla non cambiando riferimento.
Per la seconda parte sto provando ad integrare per parti, ma mi esce $(x^3 /3)*(2-x^2)^(1/2) - int (-x^4/(3*(2-x^2)^(1/2))) dx $ e non so come andare avanti. Potrebbe essere d'aiuto passare alle coordinate polari anche questo?
Uguale per il primo integrale non so come fare. Sto pensando di integrare per parti, e pensare $ \frac{\ln(1+\rho^2)}{1+\rho^2}\ $ come un prodotto per integrare il denominatore e renderlo un $arctg rho$ ma per il $ln(1+rho^2)$ non mi viene in mente niente.
Grazie ancora!
Dopo essere passato alle coordinate polari:
\[ \int_{\Omega} \frac{\ln(1+\rho^2)}{1+\rho^2}\rho \text{d}\rho \text{d}\theta \]
$theta$ lo faccio variare da $- pi/2$ a $+ pi/2$
$rho$ lo faccio variare da $0$ a $2^(1/2)$
E la seconda parte:
\[ \int_{A} x^2 \text{d}x \text{d}y \]
Ho preferito farla non cambiando riferimento.
Per la seconda parte sto provando ad integrare per parti, ma mi esce $(x^3 /3)*(2-x^2)^(1/2) - int (-x^4/(3*(2-x^2)^(1/2))) dx $ e non so come andare avanti. Potrebbe essere d'aiuto passare alle coordinate polari anche questo?
Uguale per il primo integrale non so come fare. Sto pensando di integrare per parti, e pensare $ \frac{\ln(1+\rho^2)}{1+\rho^2}\ $ come un prodotto per integrare il denominatore e renderlo un $arctg rho$ ma per il $ln(1+rho^2)$ non mi viene in mente niente.
Grazie ancora!
Prego!
Occhio, $\theta$ è sbagliato! Questo lo puoi capire anche intuitivamente, perché appunto è il semicerchio destro e dunque hai solo le $x$ positive; perciò il coseno deve essere positivo. Quindi $\theta \in [0,\frac{\pi}{2}] \cup [\frac{3}{2}\pi, 2\pi)$.
Algebricamente, ciò segue dalla condizione $x \geq 0 \to \rho \cos \theta \geq 0$, che porta a $\cos \theta \geq 0$.
$\rho$ è giusto!
Per quanto riguarda l'integrale, ribadisco che infilarti in coordinate cartesiane con quelle radici è puro masochismo
proprio grazie a questi integrali multipli inizierai ad apprezzare (magari già lo fai ed io non so di cosa sto parlando 
) i cambi di coordinate; prova a farlo in polari e guarda che differenza.
Per quanto riguarda il primo integrale, chi è $\frac{\text{d}}{\text{d}\rho}\left[\ln(1+\rho^2) \right]$?
Occhio, $\theta$ è sbagliato! Questo lo puoi capire anche intuitivamente, perché appunto è il semicerchio destro e dunque hai solo le $x$ positive; perciò il coseno deve essere positivo. Quindi $\theta \in [0,\frac{\pi}{2}] \cup [\frac{3}{2}\pi, 2\pi)$.
Algebricamente, ciò segue dalla condizione $x \geq 0 \to \rho \cos \theta \geq 0$, che porta a $\cos \theta \geq 0$.
$\rho$ è giusto!
Per quanto riguarda l'integrale, ribadisco che infilarti in coordinate cartesiane con quelle radici è puro masochismo
proprio grazie a questi integrali multipli inizierai ad apprezzare (magari già lo fai ed io non so di cosa sto parlando ) i cambi di coordinate; prova a farlo in polari e guarda che differenza.Per quanto riguarda il primo integrale, chi è $\frac{\text{d}}{\text{d}\rho}\left[\ln(1+\rho^2) \right]$?
Ok grazie per le dritte,
$theta$ posso farlo variare da $-pi/2$ a $+pi/2$ vero?
Ok, consiglio ricevuto, passo in coordinate polari.
Per il primo integrale avevo notato che si fa $f(rho) * f'(rho)$ ma comunque $f(rho)$ è una funzione composta, quindi per sostituzione non riesco...
Comunque, $d/(dρ)[ln(1+ρ^2)]$ è $1/(1+rho^2)$
$theta$ posso farlo variare da $-pi/2$ a $+pi/2$ vero?
Ok, consiglio ricevuto, passo in coordinate polari.
Per il primo integrale avevo notato che si fa $f(rho) * f'(rho)$ ma comunque $f(rho)$ è una funzione composta, quindi per sostituzione non riesco...
Comunque, $d/(dρ)[ln(1+ρ^2)]$ è $1/(1+rho^2)$
"matteomattee":
$theta$ posso farlo variare da $-pi/2$ a $+pi/2$ vero?
Per questa risposta ti consiglio di aspettare pareri più esperti del mio: so che $\theta$ si prende in $[0,2\pi)$ per questioni di invertibilità, dovrebbe essere lo stesso ma non ci scommetterei.
"matteomattee":
Ok, consiglio ricevuto, passo in coordinate polari.
Per il primo integrale avevo notato che si fa $f(rho) * f'(rho)$ ma comunque $f(rho)$ è una funzione composta, quindi per sostituzione non riesco...
Comunque, $d[ln(1+rho^2)]/d rho $ è $1/(1+rho^2)$
Attenzione, $\frac{\text{d}}{\text{d}\rho} \left[\ln(1+\rho^2)\right]=\frac{2\rho}{1+\rho^2}$; perciò se provi a porre $\ln(1+\rho^2)=\psi$ che succede?
Ok, nel caso non provo a farlo con tutti e due gli intervalli di integrazione.
Se volessi prendere $θ∈[0,π/2]∪[3pi/2,2π)$ come mi dicevi prima, dovrei fare la somma di 2 integrali? uno per il primo intervallo di $theta$ e uno per il secondo?
Facendo la sostituzione trovo che la funzione integranda è: $(ψ ψ')/(2rho) $
Se volessi prendere $θ∈[0,π/2]∪[3pi/2,2π)$ come mi dicevi prima, dovrei fare la somma di 2 integrali? uno per il primo intervallo di $theta$ e uno per il secondo?
Facendo la sostituzione trovo che la funzione integranda è: $(ψ ψ')/(2rho) $
Sì, in tal caso devi fare la somma di due integrali!
Non mi torna: vediamo un po'. Posto $\ln(1+\rho^2)=\psi$, si ha che $\frac{2\rho}{1+\rho^2} \text{d}\rho=\text{d}\psi$; perciò
$$\int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{\ln(1+\rho^2)}{1+\rho^2}\rho \text{d}\rho=\frac{1}{2} \int_{0}^{\ln3} \psi \text{d} \psi$$
Sei d'accordo?
Non mi torna: vediamo un po'. Posto $\ln(1+\rho^2)=\psi$, si ha che $\frac{2\rho}{1+\rho^2} \text{d}\rho=\text{d}\psi$; perciò
$$\int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{\ln(1+\rho^2)}{1+\rho^2}\rho \text{d}\rho=\frac{1}{2} \int_{0}^{\ln3} \psi \text{d} \psi$$
Sei d'accordo?
Certo! che stupido, avevo dimenticato il determinante della Jacobiana.
Il risultato mi esce giusto anche con gli estremi di integrazione $(-pi/2,pi/2)$, ti ringrazio molto, gentilissimo.
Il risultato mi esce giusto anche con gli estremi di integrazione $(-pi/2,pi/2)$, ti ringrazio molto, gentilissimo.
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