Risoluzione integrale doppio
Salve a tutti! Avrei bisogno di un aiuto per risolvere un integrale doppio ma non so in che modo procedere, o meglio, ho già provato a farli sia con la y come prima integrazione e poi anche invertendo ma alla fine mi escono in entrambi i casi due integrali che non riesco a risolvere! Aiutatemi a capire dove sbaglio per favore!
L'integrale è questo e a prima vista mi sembrava molto semplice (forse lo è..):
$int int_(D)^() 1/(1+3y)^2 dx dy$
D denota il dominio contenuto nel primo quadrante delimitato da $y=1+x^2$ e dalle rette $y=x$, $x=0$ e $x=1$
Grazie infinite a chi mi aiuterà a capire come procedere!
L'integrale è questo e a prima vista mi sembrava molto semplice (forse lo è..):
$int int_(D)^() 1/(1+3y)^2 dx dy$
D denota il dominio contenuto nel primo quadrante delimitato da $y=1+x^2$ e dalle rette $y=x$, $x=0$ e $x=1$
Grazie infinite a chi mi aiuterà a capire come procedere!
Risposte
Ciao dasvidanke,
Se ho capito bene è $D = {(x,y)\in \RR^2 : y \le 1 + x^2, 0 \le x \le 1, y \ge x} $ che è $y$-semplice...
Se ho capito bene è $D = {(x,y)\in \RR^2 : y \le 1 + x^2, 0 \le x \le 1, y \ge x} $ che è $y$-semplice...
Ciao @pilloeffe, sisi l'area è compresa tra $y=1+x^2$ e $y=x$, viene una specie di parallelepipedo, ho cercato di inserire anche il grafico fatto con geogebra ma non ci sono riuscito, sorry!
Allora dovrai fare una cosa del tipo
\[
\int_{x=0}^{x=1}\int_{y=x}^{y=1+x^2}\frac{1}{(1+3y)^2}dydx
\] Il quale si fa.
\[
\int_{x=0}^{x=1}\int_{y=x}^{y=1+x^2}\frac{1}{(1+3y)^2}dydx
\] Il quale si fa.
"killing_buddha":
Allora dovrai fare una cosa del tipo
\[ \int_{x=0}^{x=1}\int_{y=x}^{y=1+x^2}\frac{1}{(1+3y)^2}dydx \] Il quale si fa.
Ciao Killing_buddha, mi hai dato conferma che si faceva in quel modo, ho fatto così, che dici è corretto? Comunque grazie della risposta!
$int_(0)^(1) int_(x)^(1+x^2)1/(1+3y)^2 dx dy =...=1/3int_(x)^(1+x^2) 3/(1+3y)^2 dx$
$...=-1/3[1/(1+3y)]_(x)^(1+x^2)=-1/3(1/(4+3x^2)-1/(1+3x))$
$...=int_(0)^(1) 1/(4+3x^2) dx=-1/(6sqrt3)int_(0)^(1) (sqrt3/2)/(1+(xsqrt3/2)^2) dx=-1/(6sqrt3)arctg(xsqrt3/2)$
e poi l'altro integrale viene $1/3int_(0)^(1) 1/(1+3x) dx=1/9log |1+3x|$
ovviamente da calcolare, è giusto così?
@dasvidanke
Non mi torna tanto ciò che hai scritto...
Salvo che non abbia commesso errori a mia volta si ha:
$ int_{0}^{1} int_{x}^{1+x^2}\frac{1}{(1+3y)^2}dydx = int_{0}^{1} [- frac{1}{9y+3}]_x^{1 + x^2}dx = int_{0}^{1} [- frac{1}{9(1 + x^2)+3} + frac{1}{9x+3}] dx = $
$ = int_{0}^{1} [- frac{1}{9x^2 + 12} + frac{1}{9x+3}] dx = - 1/9 int_{0}^{1} frac{dx}{x^2 + 4/3} + 1/9 int_{0}^{1} frac{dx}{x + 1/3} = $
$ = -1/9 [2/sqrt{3} arctan(frac{2x}{sqrt{3}})]_0^1 + 1/9 [ln(x + 1/3)]_0^1 = $
$ = - 1/9 \cdot 2/sqrt{3} arctan(frac{2}{sqrt{3}}) + 1/9 [ln(4/3) - ln(1/3)] = $
$ = 1/9 ln(4) - frac{2}{9 sqrt{3}} arctan(frac{2}{sqrt{3}}) = 2/9 [ln(2) - 1/sqrt{3} arctan(frac{2}{sqrt{3}})] $
Non mi torna tanto ciò che hai scritto...
Salvo che non abbia commesso errori a mia volta si ha:
$ int_{0}^{1} int_{x}^{1+x^2}\frac{1}{(1+3y)^2}dydx = int_{0}^{1} [- frac{1}{9y+3}]_x^{1 + x^2}dx = int_{0}^{1} [- frac{1}{9(1 + x^2)+3} + frac{1}{9x+3}] dx = $
$ = int_{0}^{1} [- frac{1}{9x^2 + 12} + frac{1}{9x+3}] dx = - 1/9 int_{0}^{1} frac{dx}{x^2 + 4/3} + 1/9 int_{0}^{1} frac{dx}{x + 1/3} = $
$ = -1/9 [2/sqrt{3} arctan(frac{2x}{sqrt{3}})]_0^1 + 1/9 [ln(x + 1/3)]_0^1 = $
$ = - 1/9 \cdot 2/sqrt{3} arctan(frac{2}{sqrt{3}}) + 1/9 [ln(4/3) - ln(1/3)] = $
$ = 1/9 ln(4) - frac{2}{9 sqrt{3}} arctan(frac{2}{sqrt{3}}) = 2/9 [ln(2) - 1/sqrt{3} arctan(frac{2}{sqrt{3}})] $
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