Risoluzione integrale difficile
Risoluzione integrale difficile....chiedo gentilmente se qualcuno può postarmi lo sviluppo di tutti i passaggi del seguente integrale...ho provato a risolverlo ma va al di la dei miei limiti....credo c'entri qualche sostituzione con seno iperbolico ma non so come andare avanti....
"integrale fra -w/2 e w/2 di dx/[radice(z^2 + (w/2)^2 + x^2)]^3
quindi al denominatore ci sta il cubo di quella radice....z e w sono come ovvio costanti visto che l'integrale è in dx
grazie in anticipo se qualcuno mi risolverà il problema
Aggiunto 3 ore 7 minuti più tardi:
ma sei dovunque?! scherzo.....secondo te se ci ero riuscito stavo qui? purtroppo non ci riesco proprio...tu sei stato stra-gentile ad aiutarmi....e te ne sono molto grato....capisco pure che nn puoi riscrivermi la risoluzione come hai fatto all'inizio....mi dispiace...scusami
Aggiunto 6 ore 30 minuti più tardi:
grazie vivamente!! grazie!
"integrale fra -w/2 e w/2 di dx/[radice(z^2 + (w/2)^2 + x^2)]^3
quindi al denominatore ci sta il cubo di quella radice....z e w sono come ovvio costanti visto che l'integrale è in dx
grazie in anticipo se qualcuno mi risolverà il problema
Aggiunto 3 ore 7 minuti più tardi:
ma sei dovunque?! scherzo.....secondo te se ci ero riuscito stavo qui? purtroppo non ci riesco proprio...tu sei stato stra-gentile ad aiutarmi....e te ne sono molto grato....capisco pure che nn puoi riscrivermi la risoluzione come hai fatto all'inizio....mi dispiace...scusami
Aggiunto 6 ore 30 minuti più tardi:
grazie vivamente!! grazie!
Risposte
Ma non ti avevo già risposto da un'altra parte? Ma provare a fare i calcoli come ti avevo detto no, eh? Queste sono le cose di voi studenti che mi fanno incazzare!
Aggiunto 2 ore 2 minuti più tardi:
Visto che sono infinitamente buono: l'integrale in questione è
Poniamo per semplicità:
e quindi per risolvere l'integrale usiamo la sostituzione
e anche
Ne segue che
Ora osserva che
per cui
Aggiunto 2 ore 2 minuti più tardi:
Visto che sono infinitamente buono: l'integrale in questione è
[math]I\int_{-w/2}^{w/2}\frac{dx}{\sqrt{\left(z^2+\frac{w^2}{4}+x^2\right)^3}[/math]
Poniamo per semplicità:
[math]a^2=z^2+\frac{w^2}{4}[/math]
e quindi per risolvere l'integrale usiamo la sostituzione
[math]x=a\sinh t,\qquad dx=a\cosh t\ dt,\qquad \sqrt{(a^2+x^2)^3}=a^3\cosh^3 t[/math]
e anche
[math]x=\pm\frac{w}{2}\ \Rightarrow\ t=\log\left(\pm\frac{w}{2a}+\sqrt{\frac{w^2}{4a^2}+1}\right)=\log\left(\pm\frac{w}{2a}+\frac{\sqrt{w^2+4a^2}}{2a}\right)=\alpha_{\pm}[/math]
Ne segue che
[math]I=\int_{\alpha_-}^{\alpha_+}\frac{a\cosh t}{a^3\cosh^3 t}\ dt=
\frac{1}{a^2}\int_{\alpha_-}^{\alpha_+}\frac{dt}{\cosh^2 t}=\frac{1}{a^2}\left[\tanh t\right]_{\alpha_-}^{\alpha_+}=\frac{1}{a^2}\left[\frac{\sinh t}{\cosh t}\right]_{\alpha_-}^{\alpha_+}[/math]
\frac{1}{a^2}\int_{\alpha_-}^{\alpha_+}\frac{dt}{\cosh^2 t}=\frac{1}{a^2}\left[\tanh t\right]_{\alpha_-}^{\alpha_+}=\frac{1}{a^2}\left[\frac{\sinh t}{\cosh t}\right]_{\alpha_-}^{\alpha_+}[/math]
Ora osserva che
[math]x=\pm\frac{w}{2}\ \Rightarrow\ \sinh t=\pm\frac{w}{2a},\ \cosh t=\frac{\sqrt{w^2+4a^2}}{2a}[/math]
per cui
[math]I=\frac{1}{a^2}\left[\frac{w}{\sqrt{w^2+4a^2}}+\frac{w}{\sqrt{w^2+a^2}}\right]=\frac{2w}{a^2\sqrt{w^2+a^2}}[/math]
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