Risoluzione integrale definito

[AndreaFurlan1]

Ciao a tutti!

Dopo aver provato e riprovato, questo integrale non mi da tregua, qualcuno potrebbe aiutarmi gentilmente?

Grazie!

$\int_{-1}^{0} (x-1)^3*(arctan(x-1) dx$

[amedeo_mate]

Innanzitutto effettui una sostituzione: $x-1=t$.
i differenziali sono uguali e gli estremi di integrazione diventano $-2 $e$ -1$.
$\int_{-2}^{-1}t^{3} arctan(t)dt$
a questo punto procedi per parti per eliminare arcotangente:

$(\frac{t^{4}}{4} arctan(t))_{-2}^{-1} -\int_{-2}^{-1} \frac{t^{4}}{4} \frac{1}{1+t^{2}}dt$


Il secondo pezzo si risolve addizionando e sottraendo:
$\frac{1}{4}\int_{-2}^{-1} \frac{t^{4}}{1+t^{2}}dt=\frac{1}{4}\int_{-2}^{-1} \frac{t^{4}+t^{2}-t^{2}-1+1}{1+t^{2}}dt=$

$=\frac{1}{4}\int_{-2}^{-1} (\frac{t^{4}+t^{2}}{1+t^{2}}-\frac{t^{2}+1}{1+t^{2}}+\frac{1}{1+t^{2}})dt=$

$= \frac{1}{4}\int_{-2}^{-1} (t^{2}-1+\frac{1}{1+t^{2}})dt$

[AndreaFurlan1]

Grazie mille a entrambi per le risposte e grazie Tem per il benvenuto

Ho proseguito in questo modo;



$-1/4\int_{-2}^{-1} t^4/(1+t^2) dt$


$-1/4\int_{-2}^{-1} (t^4+t^2-t^2+1-1)/(1+t^2) dt$

$-1/4\int_{-2}^{-1} (t^4+t^2)/(1+t^2) -(t^2+1)/(1+t^2) -(1)/(1+t^2) dt$

$-1/4\int_{-2}^{-1} t^4-1-(1)/(1+t^2) dt$

$-1/4[t^5-t-arctan t] da -2 a -1$

quindi

$ arctan(2)-pi/16-1/4(-26/5+arctan(2)-pi/4) $


Vi torna?

[AndreaFurlan1]

Avevo allungato il calcolo inutilmente.
Grazie mille ancora per la gentilezza e la pazienza