Risoluzione integrale con i residui
Ciao a tutti!
Stavo svolgendo una traccia di un compito per l'esame di metodi matematici per la fisica e non riesco a risolvere un punto di un esercizio.
Determinare la norma in $L^2$ delle funziona $xf$ dove $f=\pi e^{-2\pi |x|}$ adoperando il metodo dei residui.
E' un integrale che ha estremi di integrazione da $-\infty$ e $\infty$ dunque avevo pensato di impostarlo come integrale della relativa funzione complessa sul "semicerchio di raggio $R$ positivo compreso di diametro", far tendere il $R$ all'infinito. In questo modo il contributo del semicerchio tende a $0$ e l'integrale reale si riduce al valore di $2 \pi i Res(f(z), \Pi^+)$.
L'unica cosa che non torna è che siccome la funzione è analitica ovunque, non ha residui e dunque l'integrale risulta nullo.
Cosa non possibile in quanto, integrato con i metodi tradizionali, la norma dovrebbe essere $\frac{1}{4 \sqrt{\pi}}$ (a meno di miei errori di calcolo).
Dove sbaglio? Forse qui:
\(\lim_{R \to \infty} \int_{0}^{\pi}\pi^2 R^2 e^{2 i \theta-4 \pi R(\cos(\theta)+i \sin(\theta))}i R e^{i \theta}d \theta=0\)
Grazie anticipatamente.
Stavo svolgendo una traccia di un compito per l'esame di metodi matematici per la fisica e non riesco a risolvere un punto di un esercizio.
Determinare la norma in $L^2$ delle funziona $xf$ dove $f=\pi e^{-2\pi |x|}$ adoperando il metodo dei residui.
E' un integrale che ha estremi di integrazione da $-\infty$ e $\infty$ dunque avevo pensato di impostarlo come integrale della relativa funzione complessa sul "semicerchio di raggio $R$ positivo compreso di diametro", far tendere il $R$ all'infinito. In questo modo il contributo del semicerchio tende a $0$ e l'integrale reale si riduce al valore di $2 \pi i Res(f(z), \Pi^+)$.
L'unica cosa che non torna è che siccome la funzione è analitica ovunque, non ha residui e dunque l'integrale risulta nullo.
Cosa non possibile in quanto, integrato con i metodi tradizionali, la norma dovrebbe essere $\frac{1}{4 \sqrt{\pi}}$ (a meno di miei errori di calcolo).
Dove sbaglio? Forse qui:
\(\lim_{R \to \infty} \int_{0}^{\pi}\pi^2 R^2 e^{2 i \theta-4 \pi R(\cos(\theta)+i \sin(\theta))}i R e^{i \theta}d \theta=0\)
Grazie anticipatamente.
Risposte
Innanzitutto, quale hai preso come funzione olomorfa ausiliaria?
Mica hai preso \(\pi\ z\ e^{-2\pi\ |z|}\), che non è olomorfa?
Mica hai preso \(\pi\ z\ e^{-2\pi\ |z|}\), che non è olomorfa?
Credo di aver capito dove sbaglio.
Integro così:
\[\lVert xf \rVert = (\int_{-\infty}^{+\infty} \pi^2 x^2 e^{-4 \pi |x|}dx)^\frac{1}{2}=\\
=(\int_{-\infty}^{0} \pi^2 x^2 e^{4 \pi x}dx + \int_{0}^{+\infty} \pi^2 x^2 e^{-4 \pi x}dx)^\frac{1}{2}=\\
=(\int_{\infty}^{0} -\pi^2 x^2 e^{-4 \pi x}dx + \int_{0}^{+\infty} \pi^2 x^2 e^{-4 \pi x}dx)^\frac{1}{2}=\\
=(\int_{0}^{\infty} \pi^2 x^2 e^{-4 \pi x}dx + \int_{0}^{+\infty} \pi^2 x^2 e^{-4 \pi x}dx)^\frac{1}{2}=\\
=(2\int_{0}^{\infty} \pi^2 x^2 e^{-4 \pi x}dx)^\frac{1}{2}
\]
Si potevano saltare i tutti passaggi semplicemente verificando dal principio che la funzione di partenza era pari.
L'errore lo compio concludendo così:
\[\lVert xf \rVert =(\int_{-\infty}^{\infty} \pi^2 x^2 e^{-4 \pi x}dx)^\frac{1}{2}\]
Eliminando totalmente il problema e dimostrando che il valore assoluto di una funzione è uguale alla funzione stessa.
Speriamo che questo post ricada nei meandri del forum il più velocemente possibile.
Grazie
Integro così:
\[\lVert xf \rVert = (\int_{-\infty}^{+\infty} \pi^2 x^2 e^{-4 \pi |x|}dx)^\frac{1}{2}=\\
=(\int_{-\infty}^{0} \pi^2 x^2 e^{4 \pi x}dx + \int_{0}^{+\infty} \pi^2 x^2 e^{-4 \pi x}dx)^\frac{1}{2}=\\
=(\int_{\infty}^{0} -\pi^2 x^2 e^{-4 \pi x}dx + \int_{0}^{+\infty} \pi^2 x^2 e^{-4 \pi x}dx)^\frac{1}{2}=\\
=(\int_{0}^{\infty} \pi^2 x^2 e^{-4 \pi x}dx + \int_{0}^{+\infty} \pi^2 x^2 e^{-4 \pi x}dx)^\frac{1}{2}=\\
=(2\int_{0}^{\infty} \pi^2 x^2 e^{-4 \pi x}dx)^\frac{1}{2}
\]
Si potevano saltare i tutti passaggi semplicemente verificando dal principio che la funzione di partenza era pari.
L'errore lo compio concludendo così:
\[\lVert xf \rVert =(\int_{-\infty}^{\infty} \pi^2 x^2 e^{-4 \pi x}dx)^\frac{1}{2}\]
Eliminando totalmente il problema e dimostrando che il valore assoluto di una funzione è uguale alla funzione stessa.
Speriamo che questo post ricada nei meandri del forum il più velocemente possibile.
Grazie
Ci ho ragionato un po' su e comunque non riesco a giungere a nulla. A meno di qualche cambiamento di variabile o integrazione strana non riesco a giungere a nulla che semplifichi l'integrale e all'applicazione del metodo dei residui.
Tra l'altro mi crea molto imbarazzo la funzione $|z|$. Che appunto è la causa della non olomorfia della funzione.
Ne concludo che il modo più semplice è quello per integrazione per parti, a meno che non mi sfugga qualcosa.
Gugo tu che dici?
Tra l'altro mi crea molto imbarazzo la funzione $|z|$. Che appunto è la causa della non olomorfia della funzione.
Ne concludo che il modo più semplice è quello per integrazione per parti, a meno che non mi sfugga qualcosa.
Gugo tu che dici?
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