Risoluzione integrale composto con logaritmo a base non naturale

[fal944]

Buongiorno a tutti,
Vi chiedo una mano per capire come risolvere questo integrale, la cui base del logaritmo mi mette in difficoltà.
L'esercizio chiede:
"Si trovi una primitiva di $1/x log_2 (x)$ "
Come posso procedere?

Grazie a chiunque possa dedicarmi del tempo.

[otta96]

Se ti da fastidio la base cambiala

[pilloeffe]

Ciao fal944,

A parte il fatto che concordo con quanto ti ha scritto otta96, potresti anche procedere osservando che si ha:

$ [log_2(x)]^{\prime} = 1/(x ln2) $

$ ln2 [log_2(x)]^{\prime} = 1/x $

$ ln2 log_2(x) [log_2(x)]^{\prime} = (log_2(x))/x $

$ ln2 \int log_2(x) [log_2(x)]^{\prime} \text{d}x = \int (log_2(x))/x \text{d}x $

L'integrale al secondo membro è quello richiesto, mentre quello al primo membro è del ben noto tipo seguente:

$\int f^n(x) f'(x) \text{d}x = (f^{n + 1}(x))/(n + 1) + c $

con $f(x) = log_2(x) $ e $n = 1 $, per cui si ha:

$ \int (log_2(x))/x \text{d}x = ln2 \int log_2(x) [log_2(x)]^{\prime} \text{d}x = ln2 \cdot (log_2^2(x))/2 + c$

[fal944]

Grazie mille, essenziale!